Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

4 1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.10. Ein Mengensystem A ⊂ 2 Ω heißt Dynkin-System (oder λ-System),
falls gilt:
(i) Ω ∈A,
(ii) für je zwei Mengen A, B ∈Amit A ⊂ B ist B \ A ∈A,
(iii) für
�
je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A1,A2,... ∈ A gilt
∞
n=1 An ∈A.
Beispiele 1.11. (i) Ist Ω eine beliebige nichtleere Menge, so sind A = {∅,Ω} und
A = 2 Ω die trivialen Beispiele für Algebren, σ-Algebren und Dynkin-Systeme.
Hingegen sind A = {∅} und A =2 Ω die trivialen Beispiele für Semiringe, Ringe
und σ-Ringe.
(ii) Sei Ω = R. DannistA = {A ⊂ R : A ist abzählbar} ein σ-Ring.
(iii) A = {(a, b] : a, b ∈ R, a≤ b} ist ein Semiring über Ω = R (aber kein
Ring).
(iv) Die Menge endlicher Vereinigungen von beschränkten Intervallen ist ein Ring
über Ω = R (aber keine Algebra).
(v) Die Menge endlicher Vereinigungen beliebiger (auch unbeschränkter) Intervalle
ist eine Algebra über Ω = R (aber keine σ-Algebra).
(vi) Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω := E N die Menge aller Folgen
ω =(ωn)n∈N mit Werten in E.Für ω1,...,ωn ∈ E sei
[ω1,...,ωn] :={ω ′ ∈ Ω : ω ′ i = ωi für jedes i =1,...,n}
die Menge aller Folgen, die mit den Werten ω1,...,ωn beginnen. Sei A0 = {∅}.
Für n ∈ N setze
An := {[ω1,...,ωn] : ω1,...,ωn ∈ E}. (1.1)
Dann ist A := �∞ n=0 An ein Semiring, aber kein Ring (falls #E >1).
(vii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder A c ist endlich}
eine Algebra. Ist #Ω = ∞, soistAjedoch keine σ-Algebra.
(viii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder A c ist abzählbar}
eine σ-Algebra.
(ix) Jede σ-Algebra ist auch ein Dynkin-System.
(x) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und A = � ∅, {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4} � .
Dann ist A ein Dynkin-System, aber keine Algebra. ✸