Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

454 21 Die Brown’sche Bewegung
Die Umkehrung des Satzes ist nicht richtig. Es gilt aber Folgendes.
Satz 21.38. Seien (Pn)n∈N und P W-Maße auf C([0, ∞)). Dann sind äquivalent:
(i) Pn n→∞
−→
fdd
P und (Pn)n∈N ist straff.
(ii) Pn
n→∞
−→ P schwach.
Beweis. ” (ii) =⇒ (i)“ Dies folgt direkt aus dem Satz von Prohorov (Satz 13.29
mit E = C([0, ∞))).
” (i) =⇒ (ii)“ Nach dem Satz von Prohorov ist (Pn)n∈N relativ folgenkompakt.
Sei Q ein Limespunkt von (Pnk )k∈N entlang einer Teilfolge (nk). Dann gilt
fdd
−→ Q, k →∞. Nach Lemma 21.36 ist P = Q. ✷
Pnk
Als nächstes wollen wir uns ein nützliches Kriterium für Straffheit von Mengen
{Pn} ⊂M1(C([0, ∞))) verschaffen. Wir beginnen mit einer Wiederholung der
Charakterisierung von Relativkompaktheit in C([0, ∞)) von Arzelà und Ascoli (siehe
etwa [156, Satz II.3.4]).
Für N,δ > 0 und ω ∈ C([0, ∞)) setze
V N (ω, δ) :=sup � |ω(t) − ω(s)| : |t − s| ≤δ, s, t ≤ N � .
Satz 21.39 (Arzelà-Ascoli). Eine Menge A ⊂ C([0, ∞)) ist genau dann relativ
kompakt, wenn die beiden folgenden Bedingungen gelten.
(i) {ω(0), ω∈ A} ⊂R ist beschränkt.
(ii) Für jedes N gilt lim sup V
δ↓0 N (ω, δ) =0.
ω∈A
Satz 21.40. Eine Familie (Pi, i∈ I) von W-Maßen auf C([0, ∞)) ist genau dann
schwach relativkompakt, wenn die beiden folgenden Bedingungen gelten.
(i) (Pi ◦ X −1
0 ,i∈ I) ist straff, das heißt, für jedes ε>0 gibt es ein K > 0,
sodass
Pi({ω : |ω(0)| >K}) ≤ ε für jedes i ∈ I. (21.28)
(ii) Für alle η, ε > 0 und N ∈ N gibt es ein δ>0, sodass
Pi({ω : V N (ω, δ) >η}) ≤ ε für jedes i ∈ I. (21.29)
Beweis. ” =⇒ “ Nach dem Satz von Prohorov (Satz 13.29) folgt aus der schwachen
Relativkompaktheit von (Pi, i∈ I) die Straffheit dieser Familie. Zu jedem
ε>0 gibt es daher eine kompakte Menge A ⊂ C([0, ∞)) mit Pi(A) > 1 − ε