Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.2 Schwache und vage Konvergenz 241
lokalkompakt, so ist (M(E),τv) ein Hausdorffraum. Ist E zudem polnisch, so ist
(M(E),τv) ebenfalls polnisch (siehe etwa [83, Sektion 15.7]). ✸
Während bei der schwachen Konvergenz stets auch Konvergenz der Gesamtmassen
gilt (schließlich ist 1 ∈ Cb(E)), kann bei der vagen Konvergenz ein Massendefekt
im Limes auftreten, jedoch kein Massenzuwachs, wie das folgende Lemma zeigt.
Lemma 13.15. Sei E ein lokalkompakter, polnischer Raum, und seien μ, μ1,μ2,...
n→∞
∈Mf (E) mit μn −→ μ vag. Dann gilt
μ(E) ≤ lim sup μn(E).
n→∞
Beweis. Sei (fN )N∈N eine Folge in Cc(E; [0, 1]) mit fN ↑ 1. Dann gilt
�
�
μ(E) =sup
N∈N
fN dμ =suplim
N∈N n→∞
�
fN dμn
≤ lim sup sup
n→∞
N∈N
fN dμn = lim sup μn(E). ✸
n→∞
Die Folge (δ 1/n)n∈N von W-Maßen auf R konvergiert offenbar schwach gegen δ0,
nicht jedoch in der Totalvariationsnorm: Für die abgeschlossene Menge (−∞, 0]
gilt nämlich limn→∞ δ 1/n((−∞, 0]) = 0 < 1=δ0((−∞, 0]). Etwas lax gesagt,
kann in abgeschlossene Mengen im schwachen Limes Masse an der Rändern einwandern
(nicht jedoch auswandern). Die komplementäre Aussage gilt für offene
Mengen, denn limn→∞ δ 1/n((0, ∞)) = 1 > 0=δ0((0, ∞)), hier kann also Masse
auswandern, nicht jedoch einwandern. Tatsächlich kann man die schwache Konvergenz
über diese Eigenschaft charakterisieren. Im folgenden Satz werden wir ein
ganzes Bündel solcher Aussagen ” auf einen Kleiderbügel (französisch: portemanteau)
hängen“.
Für messbares g : Ω → R sei Ug die Menge der Unstetigkeitsstellen von g. Beachte,
dass Ug Borel-messbar ist (nach Übung 1.1.3).