Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess 219
Übung 11.2.5. Man zeige: In Satz 11.14 gilt die Umkehrung unter der zusätzlichen
Annahme, dass es ein K>0 gibt mit |Xn − Xn−1| ≤K f.s. für jedes n ∈ N. ♣
Übung 11.2.6. Sei (Fn)n∈N0 eine Filtration und (An)n∈N Ereignisse. Setze A∗ =
lim supn→∞ An und A∞ = � �∞ n=1 P[An |Fn−1] =∞ � . Man zeige die bedingte
Version des Borel-Cantelli Lemmas: P[A∞ △ A∗ ]=0.
Hinweis: Wende Übung 11.2.5 an auf Xn = �∞ n=1 ( An − P[An |Fn−1]). ♣
Übung 11.2.7. Sei p ∈ [0, 1] und X =(Xn)n∈N0 ein stochastischer Prozess mit
Werten in [0, 1]. Für jedes n ∈ N0 gelte: Gegeben X0,...,Xn ist
�
1 − p + pXn mit Wahrscheinlichkeit Xn,
Xn+1 =
pXn mit Wahrscheinlichkeit 1 − Xn.
Man zeige, dass X ein Martingal ist und fast sicher konvergiert. Man bestimme die
Verteilung des fast sicheren Grenzwerts limn→∞ Xn. ♣
Übung 11.2.8. Sei f ∈L1 (λ), wobei λ die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf
[0, 1] bezeichnet. Sei In,k =[k2−n , (k +1)2−n ) für n ∈ N und k =0,...,2n − 1.
Definiere fn :[0, 1] → R durch
fn(x) =2 n
�
fdλ, falls k so gewählt ist, dass x ∈ Ik,n.
Ik,n
Zeige: Für λ-fast alle x ∈ [0, 1] gilt fn(x) n→∞
−→ f(x). ♣
Übung 11.2.9. Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration F =
(Fn)n∈N. SeiF∞ := σ(Fn : n ∈ N), und sei M der Vektorraum der gleichgradig
integrierbaren F-Martingale. Man zeige: die Abbildung Φ : L 1 (F∞) →M, X∞ ↦→
(E[X∞ |Fn])n∈N ist ein Vektorraumisomorphismus. ♣
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
Sei p =(pk)k∈N0 ein Wahrscheinlichkeitsvektor auf N0 und (Zn)n∈N0 der Galton-
Watson-Prozess mit einem Urahn und Nachkommenverteilung p (siehe Definition
3.9). Zur Erinnerung geben wir die Konstruktion von Z an. Seien (Xn,i)n∈N0,i∈N
u.i.v. Zufallsvariablen P[X1,1 = k] =pk für k ∈ N0. Setze Z0 =1und induktiv
Zn
Zn+1 =
i=1
�
Xn,i für n ∈ N0.
Wir interpretieren Zn als Größe einer Population zur Zeit n und Xn,i als Anzahl der
Nachkommen des i-ten Individuums aus der n-ten Generation.
Seien m := E[X1,1] < ∞ die erwartete Kinderanzahl pro Individuum und σ 2 :=
Var[X1,1] ∈ (0, ∞) die Varianz der Kinderzahl. Setze Fn := σ(Xk,i : k