Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.4 Konvergenzrate im starken GGZ 117
Wegen c ≥ 0 ist (Sk + c) 2 Ak ≥ (t + c)2 Ak , also können wir (5.12) fortsetzen
durch
≥
n�
E � (t + c) 2 � 2
Ak =(t + c) P[A].
k=1
Für c = Var[Sn]/t ≥ 0 erhalten wir
P[A] ≤
Var[Sn]+c 2
(t + c) 2
= c(t + c)
tc
=
(t + c) 2 t2 Var[Sn]
=
+ tc t2 + Var[Sn] .
Damit ist (5.10) gezeigt. Um (5.11) zu zeigen, wähle ¯τ := min � k ∈{1,...,n} :
|Sk| ≥t � und Āk = {¯τ = k} sowie Ā = {¯τ ≤ n}. Die obige Fortsetzung von
(5.12) mit c>0 ist jetzt nicht zulässig. Wenn wir aber c =0wählen, gilt S2 k ≥
t2 Āk . Mit der selben Rechnung wie in (5.12) erhalten wir P[Ā] ≤ t−2Var[Sn].✷ Wir folgern aus der Kolmogorov’schen Ungleichung eine erste Verschärfung des
starken Gesetzes der großen Zahl.
Satz 5.29. Seien X1,X2,...unabhängige Zufallsvariablen mit E[Xn] =0für jedes
n ∈ N und V := sup{Var[Xn] : n ∈ N} < ∞. Dann gilt für jedes ε>0
lim sup
n→∞
|Sn|
n1/2 =0 fast sicher.
(log(n)) (1/2)+ε
Beweis. Setze kn =2 n und l(n) =n 1/2 (log(n)) (1/2)+ε für n ∈ N. Für k ∈ N mit
kn ≤ k ≤ kn+1 ist |Sk|/k ≤ 2|Sk|/kn+1. Also reicht es, für δ>0 zu zeigen, dass
lim sup l(kn)
n→∞
−1 max{|Sk| : k ≤ kn} ≤δ fast sicher. (5.13)
Für δ > 0 und n ∈ N setze Aδ n := � max{|Sk| : k ≤ kn} > δl(kn) � .Die
Kolmogorov’sche Ungleichung liefert
∞�
n=1
P � A δ �
n ≤
∞�
n=1
δ −2 (l(kn)) −2 Vkn =
V
δ 2 (log 2) 1+2ε
∞�
n −1−2ε < ∞.
Das Borel Cantelli Lemma liefert nun P � lim supn→∞ Aδ �
n =0, also (5.13). ✷
Wir werden in Kapitel 22 sehen, dass für unabhängige, identisch verteilte, quadratintegrierbare,
zentrierte Zufallsvariablen X1,X2,...die folgende Verschärfung gilt
lim sup
n→∞
n=1
|Sn|
� =1 fast sicher.
2n Var[X1] log(log(n))
Die Konvergenzrate ist also in diesem Fall genau bekannt. Sind die X1,X2,...nicht
unabhängig, sondern nur paarweise unabhängig, so verschlechtert sich die Konvergenzrate,
wenngleich nicht drastisch: Wir geben hier ohne Beweis einen Satz an,
den Rademacher 1922 [134] und Menshov 1923 [111] unabhängig voneinander gefunden
haben.