Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

ϕμ(t) =
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 293
n�
pk(1 −|t|/ak) + .
k=1
Dies ist eine stetige, symmetrische, reelle Funktion mit ϕμ(0) = 1, die auf den Intervallen
[ak−1,ak] jeweils linear ist. Durch partielle Summation erhalten wir (wegen
mn+1 =0)für jedes k =1,...,n
ϕμ(al) =
=
n�
k=1
�
ak(mk+1 − mk) 1 − al
� +
=
ak
�
�
(an − al)mn+1 − (al − al)ml −
= −
n�
(yk − yk−1) =yl = ϕ(al).
k=l+1
n�
(ak − al)(mk+1 − mk)
k=l
n�
(ak − ak−1)mk
k=l+1
Also ist ϕμ = ϕ. ✸
Beispiel 15.16. Wir betrachten die Funktion ϕ : R → [0, 1], die periodisch mit Periode
2π ist, und die für t ∈ [−π, π) definiert ist durch ϕ(t) =1−2|t|/π.Durchdie
diskrete Fourier-Inversionsformel (Satz 15.10) erhalten wir, dass ϕ die charakteristi-
sche Funktion des W-Maßes μ ∈M1(Z) mit μ({x}) =(2π) −1 � π
−π
cos(tx) ϕ(t) dt
ist, wenn wir zeigen können, dass alle diese Zahlen μ({x}) nichtnegativ sind. Für
x =0ist offenbar μ({x}) =0.Für x ∈ Z \{0} berechnen wir das Integral mit
Hilfe partieller Integration
� π
−π
cos(tx) ϕ(t) dt =2
Insgesamt erhalten wir
= 4
x
� π
�
0
cos(tx)(1− 2t/π) dt
1 − 2
�
sin(πx) −
π
4 4
sin(0) +
x πx
= 4
(1 − cos(πx)).
πx2 μ({x}) =
� 4
π 2 x 2 , falls x ungerade ist,
0, sonst.
� π
0
sin(tx) dt
Wegen μ(Z) =ϕ(0) = 1 ist μ tatsächlich ein W-Maß. ✸
Beispiel 15.17. Wir betrachten die Funktion ψ : R → [0, 1], die periodisch mit
Periode π ist, und die für t ∈ [−π/2,π/2) definiert ist durch ψ(t) =1− 2|t|/π.
Ist ϕ die charakteristische Funktion zum Maß μ aus dem vorangehenden Beispiel,
so ist offenbar ψ(t) =|ϕ(t)|. Andererseits ist ψ(t) = 1 1
2 + 2ϕ(2t). Nach Satz15.14