Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

304 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz
Während wir im starken Gesetz der großen Zahl gesehen haben, dass Summen Sn =
X1 + ...+ Xn u.i.v. integrierbarer Zufallsvariablen Werte in etwa von der Größe
n·E[X1] annehmen, wollen wir jetzt anschauen, wie groß und von welcher Form die
typischen Abweichungen von diesem Wert sind – jedenfalls unter der zusätzlichen
Annahme, dass Var[X1] ∈ (0, ∞).
Wir bereiten den Beweis des zentralen Grenzwertsatzes mit einem Lemma vor.
Lemma 15.36. Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit E[X1] =μ und
Var[X1] =σ2 ∈ (0, ∞). Sei
n�
(Xk − μ)
S ∗ n := 1
√ nσ 2
k=1
die standardisierte n-te Partialsumme. Dann gilt
lim
n→∞ ϕS∗ n (t) =e−t2 /2
für jedes t ∈ R.
Beweis. Sei ϕ = ϕXk−μ. Dann ist nach Satz 15.31(ii)
ϕ(t) =1− σ2
2 t2 + ε(t) t 2 ,
wobei ε(t) → 0, wennt→0. Nach Lemma 15.11(iv) und (ii) ist
ϕS∗ (t) =ϕ
n
�
Nun ist 1 − t2
�n n→∞
2n −→ e−t2 /2 und
�
�
�
�
�
1 − t2
�n
− ϕ
2n
� t
√nσ 2
� t
√nσ 2
≤ n t2
nσ 2
� n
.
�n � �
� � �
��� � t2
≤ n �
t ���
�1 − − ϕ √nσ
2n 2
�
�
�
�ε � ��
t ��� n→∞
√nσ −→ 0.
2
(Beachte: |u n − v n |≤|u − v|·n · max(|u|, |v|) n−1 für alle u, v ∈ C.) ✷
Satz 15.37 (Zentraler Grenzwertsatz). Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen
mit μ := E[X1] ∈ R und σ2 := Var[X1] ∈ (0, ∞). Für n ∈ N sei
S∗ n := 1 �n √
σ2n i=1 (Xi − μ). Dann gilt
PS ∗ n
n→∞
−→ N0,1 schwach.
Für −∞ ≤ a