Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

474 21 Die Brown’sche Bewegung
Damit ist (21.55) gezeigt.
Schritt 2. Sei nun M ∈Mloc,c und (τN )N∈N eine lokalisierende Folge, sodass
jedes M τN ein beschränktes Martingal ist (siehe Bemerkung 21.67). Nach Schritt 1
gilt für T ≥ 0 und N ∈ N
U N,n
T
:= �
t∈P n T
� M τN
t ′
τN
− M
t
� 2 n→∞
−→ 〈M τN 〉T in L 2 .
Wegen U N,n
T = U N+1,n
T , falls T ≤ τN , gibt es einen stetigen Prozess U mit
U N,n n→∞
T −→ UT stochastisch, falls T ≤ τN . Also gilt 〈M τN 〉T = 〈M〉T := UT ,
falls T ≤ τN .WegenτN↑∞fast sicher, gilt für alle T ≥ 0
U n T
n→∞
−→ 〈M〉T stochastisch.
Da � (M τN
T )2 −〈MτN �
〉T T ≥0 ein stetiges Martingal ist und 〈M τN 〉 = 〈M〉 τN gilt,
folgt M 2 −〈M〉 ∈Mloc,c.
Schritt 3. Wir müssen noch (ii) zeigen. Sei also M ein stetiges, quadratintegrierbares
Martingal und (τn)n∈N eine lokalisierende Folge für das lokale Martingal
M 2 −〈M〉. SeiT > 0 und τ ≤ T eine Stoppzeit. Da M 2 ein nichtnegatives
Submartingal ist, ist M 2 τn∧τ ≤ E[MT |Fτn∧τ ], also ist (M 2 τn∧τ )n∈N gleichgradig
integrierbar und damit
E � M 2� τ = lim
n→∞ E�M 2 �
τn∧τ = lim
n→∞ E� � � � � � � � 2 2
〈M〉τn∧τ +E M0 = E 〈M〉τ +E M0 ,
wobei wir im letzten Schritt den Satz über monotone Konvergenz ausgenutzt haben.
Nach dem Optional Sampling Theorem ist also M 2 −〈M〉 ein Martingal.
Schritt 4. (Eindeutigkeit) Seien A und A ′ stetige, monoton wachsende, adaptierte
Prozesse mit A0 = A ′ 0, sodass M 2 − A und M 2 − A ′ lokale Martingale sind.
Dann ist auch N = A − A ′ ein lokales Martingal, und für fast alle ω hat der Pfad
N(ω) endliche Variation. Daher ist 〈N〉 ≡0 und damit N 2 −〈N〉 = N 2 ein stetiges
lokales Martingal mit N0 =0.Sei(τn)n∈Neine lokalisierende Folge für N 2 .Dann
ist E � N 2 �
2
τn∧t =0für jedes n ∈ N und t ≥ 0, also ist Nτn∧t =0fast sicher und
damit N 2 t = limn→∞ N 2 τn∧t =0fast sicher. Es folgt A = A ′ . ✷
Korollar 21.72. Sei M ein stetiges lokales Martingal mit 〈M〉 ≡0. Dann ist Mt =
M0 für alle t ≥ 0 fast sicher. Speziell gilt dies, falls die Pfade von M von lokal
endlicher Variation sind.
Korollar 21.73. Seien M,N ∈ Mloc,c. Dann existiert ein eindeutig bestimmter
stetiger, adaptierter Prozess 〈M,N〉 von fast sicher lokal endlicher Variation mit
〈M,N〉0 =0, sodass gilt:
MN −〈M,N〉 ist ein stetiges lokales Martingal.