Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

12 1 Grundlagen der Maßtheorie
(v) σ-subadditiv, falls für je abzählbar viele A, A1,A2,... ∈Amit A ⊂ ∞�
gilt, dass μ(A) ≤ ∞�
μ(Ai).
i=1
Ai
i=1
Definition 1.28. Sei A ein Semiring und μ : A→[0, ∞] eine Mengenfunktion mit
μ(∅) =0. μ heißt
– Inhalt, falls μ additiv ist,
– Prämaß, falls μσ-additiv ist,
– Maß, falls μ ein Prämaß ist und A eine σ-Algebra,
– Wahrscheinlichkeitsmaß (kurz W-Maß), falls μ ein Maß ist und μ(Ω) =1.
Definition 1.29. Sei A ein Semiring. Ein Inhalt μ auf A heißt
(i) endlich, falls μ(A) < ∞ für jedes A ∈A,
(ii) σ-endlich, falls es Mengen Ω1,Ω2,... ∈ A gibt mit Ω = ∞�
μ(Ωn) < ∞ für jedes n ∈ N.
n=1
Ωn und
Beispiel 1.30 (Inhalte, Maße). (i) Sei ω ∈ Ω und δω(A) = A(ω) (siehe (1.2)).
Dann ist δω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf jeder σ-Algebra A⊂2 Ω und heißt
Dirac-Maß im Punkt ω, oder Einheitsmasse.
(ii) Sei Ω eine endliche, nichtleere Menge. Durch
μ(A) := #A
#Ω
für A ⊂ Ω,
wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A =2 Ω definiert. μ heißt Gleichverteilung
oder uniforme Verteilung auf Ω. Wirführen hierfür das Symbol UΩ := μ ein.
Dersodefinierte Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, UΩ) wird auch Laplace-Raum
genannt.
(iii) Sei Ω abzählbar unendlich und
A := {A ⊂ Ω :#A