Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

258 13 Konvergenz von Maßen
E � f1(X1) ···fk(Xk) � = E � F (X1,...,Xk) � �
= E
�
Also ist
�
�
�E � f1(X1) ···fk(Xk) � �
− E
�
� �
�
= �E
�
�
f1 dξn(X) ···
� �
Fdνn,k(X) − E
�
�
Fdνn,k(X) .
��
��
fk dξn(X)
��
��
Fdμn,k(X)
n→∞
≤�F�∞ Rn,k −→ 0.
Wir machen uns jetzt das folgende Kriterium für die Straffheit von Teilmengen von
M1(M1(E)) zu Nutze.
Übung 13.4.1. Man zeige: Eine Teilmenge K ⊂ M1(M1(E)) ist genau dann
straff, wenn für jedes ε>0 eine kompakte Menge K ⊂ E existiert mit der Eigenschaft
�μ �� μ ∈M1(E) : μ(K c ) >ε �� 0 existiert also ein Kompaktum K ⊂ E
mit P[X1 ∈ Kc ] ε] ≤ ε−1E[ξn(X)(Kc )] =
ε−1P[X1 ∈ Kc ] ≤ ε. Also ist die Familie (Pξn(X))n∈N straff. Sei Ξ∞ eine Zufallsvariable
(mit Werten in M1(E)), sodass PΞ∞ =w-lim
l→∞ Pξn (X) für eine geeignete
l
Teilfolge (nl)l∈N. Die Abbildung ξ ↦→ � Fdξ= � f1 dξ ··· � fk dξ ist beschränkt
und (als Produkt stetiger Abbildungen) stetig bezüglich der Topologie der schwachen
Konvergenz auf M1(E), also aus Cb(M1(E)). Daher gilt
�
E
�
FdΞ ⊗k
� �
∞ = lim E
l→∞ �
�
f1 dξnl (X) ··· fk dξnl (X)
�
= E � f1(X1) ···fk(Xk) � .
Nun hängt der Grenzwert aber nicht mehr von der gewählten Teilfolge ab und ist
damit eindeutig. Es folgt, noch einmal komplett ausgeschrieben, dass
E � f1(X1) ···fk(Xk) � �
= E
�
� �
f1 dΞ∞ ···
.
fk dΞ∞
Durch diese Integrale ist aber die Verteilung von (X1,...,Xk) vollständig bestimmt,
und es folgt, dass P (X1,...,Xk) = P Ξ ⊗k
∞ , oder als Zufallsvariablen ausgedrückt:
(X1,...,Xk) D = (Y1,...,Yk), wo, gegeben Ξ∞, die Zufallsvariablen
Y1,...,Yk unabhängig mit Verteilung Ξ∞.
Übung 13.4.2. Man zeige: Eine Familie (Xn)n∈N von Zufallsvariablen ist genau
dann austauschbar, wenn für jede Wahl von natürlichen Zahlen mit 1 ≤ n1