Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

16 1 Grundlagen der Maßtheorie
Satz 1.36 (Stetigkeit und Prämaß). Sei μ ein Inhalt auf einem Ring A. Betrachte
die folgenden fünf Eigenschaften.
(i) μ ist σ-additiv (also ein Prämaß).
(ii) μ ist σ-subadditiv.
(iii) μ ist stetig von unten.
(iv) μ ist ∅-stetig.
(v) μ ist stetig von oben.
Dann gelten die Implikationen (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iii)=⇒ (iv) ⇐⇒ (v).
Ist μ endlich, so gilt auch (iv) =⇒ (iii).
Beweis. (i) =⇒ (ii)“ Seien A, A1,A2,... ∈Amit A ⊂
” �∞ i=1 Ai. Setze B1 =
A1 und Bn = An \ �n−1 i=1 Ai ∈Afür n =2, 3,...Dann ist A = �∞ n=1 (A ∩ Bn),
also wegen der Monotonie von μ und der σ-Additivität von μ
∞�
∞�
μ(A) = μ(A ∩ Bn) ≤ μ(An).
n=1
Damit ist μ als σ-subadditiv erkannt.
” (ii) =⇒ (i)“ Dies folgt aus Lemma 1.31(iv).
” (i) =⇒ (iii)“ Sei μ ein Prämaß und A ∈Asowie (An)n∈N eine Folge in A mit
An ↑ A sowie A0 = ∅. Dann gilt
μ(A) =
∞�
μ(Ai \ Ai−1) = lim
i=1
n�
n→∞
i=1
n=1
μ(Ai \ Ai−1) = lim
n→∞ μ(An).
” (iii) =⇒ (i)“ Gelte nun (iii). Seien B1,B2,... ∈Apaarweise disjunkt, und
gelte B = ∞�
Bn ∈A. Setze An = n�
Bi für jedes n ∈ N. Dann folgt aus (iii)
n=1
i=1
μ(B) = lim
n→∞ μ(An) =
Also ist μσ-additiv und damit ein Prämaß.
∞�
μ(Bi).
” (iv) =⇒ (v)“ Seien A, A1,A2,... ∈Amit An ↓ A und μ(A1) < ∞. Setze
Bn = An \ A ∈Afür jedes n ∈ N. Dann gilt Bn ↓∅. Es gilt also μ(An) − μ(A) =
μ(Bn) n→∞
−→ 0.
” (v) =⇒ (iv)“ Dies ist trivial.
i=1