Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 319
log ϕ(t) = lim
n→∞ n log(ϕn(t)) = lim
n→∞ n(ϕn(t) − 1) = ψ(t).
Nach dem Lévy’schen Stetigkeitssatz ist ϕ als stetiger Limes von CFWs selbst eine
CFW. ✷
Korollar 16.7. Gelten die Bedingungen von Satz 16.6, so ist ϕ r eine CFW für jedes
r>0. Insbesondere ist ϕ =(ϕ 1/n ) n unbegrenzt teilbar.
Beweis. Ist ϕn die CFW von μn ∈ M1(R), soiste rn(ϕn−1) die CFW von
CPoirnμn . Als in 0 stetiger Limes von CFWs ist ϕr = e rψ = limn→∞ e rn(ϕn−1)
nach dem Lévy’schen Stetigkeitssatz eine CFW. Mit r = 1
n folgt, dass ϕ =(ϕ1/n ) n
unbegrenzt teilbar ist. ✷
Korollar 16.8. Eine in 0 stetige Funktion ϕ : R → C ist genau dann eine unbegrenzt
teilbare CFW, wenn es eine Folge (ϕn)n∈N von CFWs gibt mit ϕ n n(t) → ϕ(t)
für jedes t ∈ R.
Beweis. Die eine Richtung ist schon in Korollar 16.7 gezeigt worden. Sei also ϕ
eine unbegrenzt teilbare CFW. Dann leistet ϕn = ϕ 1/n das Gewünschte. ✷
Korollar 16.9. Ist (μn)n∈N eine (schwach) konvergente Folge unbegrenzt teilbarer
W-Maße auf R, soistμ = limn→∞ μn unbegrenzt teilbar.
Beweis. Wende Satz 16.6 an mit ϕn die CFW von μ ∗1/n
n . ✷
Korollar 16.10. Ist μ ∈ M1(R) unbegrenzt teilbar, so existiert eine stetige Faltungshalbgruppe
(μt)t≥0 mit μ1 = μ und ein stochastischer Prozess (Xt)t≥0 mit
unabhängigen, stationären Zuwächsen Xt − Xs ∼ μt−s für t>s.
Beweis. Sei ϕ die CFW von μ. Die Existenz der Faltungshalbgruppe folgt aus Korollar
16.8 und 16.7, indem wir μr durch ϕ r definieren. Die Stetigkeit der Halbgruppe
folgt, da ϕ r → 1 für r → 0 (weil ϕ r (t) �= 0für alle t ∈ R). Schließlich folgt die
Existenz des Prozesses X aus Satz 14.47. ✷
Korollar 16.11. Ist ϕ eine unbegrenzt teilbare CFW, so existiert ein γ > 0 mit
für jedes t ∈ R. Speziell ist t ↦→ e−|t|α für kein α>2 eine CFW.
|ϕ(t)| ≥ 1 t2
2e−γ Beweis. Dies folgt direkt aus (16.3). ✷
Beweis (von Satz 16.5). Da CPoiνn unbegrenzt teilbar ist, ist nach Korollar 16.9
auch der schwache Limes unbegrenzt teilbar.
Sei nun μ unbegrenzt teilbar mit CFW ϕ. Wähle W-Maße μn mit CFW ϕn wie in
n(ϕn−1) n→∞
n→∞
Korollar 16.8. Nach Satz 16.6 gilt e −→ ϕ, also auch CPoinμn −→ ν.
✷