Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

470 21 Die Brown’sche Bewegung
Nach Übung 21.4.2 ist (W 2 t − t)t≥0 ein stetiges Martingal. Offenbar ist auch
(Wt � Wt )t≥0 ein stetiges Martingal. Nach dem Gezeigten sind also die Prozesse
W 2 −〈W 〉 und W � W −〈W, � W 〉 Martingale. Wir werden sehen (Satz 21.70), dass
die quadratische Variation 〈M(ω)〉 eines quadratintegrierbaren, stetigen Martingals
M stets existiert (für fast alle ω), und dass der Prozess 〈M〉 eindeutig charakterisiert
ist durch die Eigenschaft, dass M 2 −〈M〉 ein Martingal ist.
Um eine ähnliche Aussage auch für stetige Martingale zu erhalten, die nicht quadratisch
integrierbar sind, treffen wir die folgende Definition.
Definition 21.66 (Lokales Martingal). Sei F eine Filtration auf (Ω,F, P) und τ
ein F-Stoppzeit. Ein adaptierter, reeller stochastischer Prozess M =(Mt)t≥0 heißt
lokales Martingal bis τ, falls es eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten gibt mit τn ↑ τ
fast sicher, und so, dass für jedes n ∈ N der gestoppte Prozess M τn =(Mτn∧t)t≥0
ein gleichgradig integrierbares Martingal ist. Eine solche Folge (τn)n∈N heißt lokalisierende
Folge für M. M heißt lokales Martingal schlechthin, falls M ein lokales
Martingal bis τ ≡∞ist. Mit Mloc,c bezeichnen wir den Raum der stetigen lokalen
Martingale.
Bemerkung 21.67. Sei M ein stetiger, adaptierter Prozess und τ eine Stoppzeit.
Dann sind äquivalent:
(i) M ist ein lokales Martingal bis τ.
(ii) Es gibt eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten mit τn ↑ τ fast sicher, sodass
jedes M τn ein Martingal ist.
(iii) Es gibt eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten mit τn ↑ τ fast sicher, sodass
jedes M τn ein beschränktes Martingal ist.
In der Tat: (iii) =⇒ (i) =⇒ (ii) ist trivial. Gelte also (ii), und sei τ ′ n definiert durch
τ ′ n := inf{t ≥ 0: |Mt| ≥n} für jedes n ∈ N.
Da M stetig ist, gilt τ ′ n ↑∞.Alsoist (σn)n∈N := (τn ∧ τ ′ n) eine lokalisierende
Folge für M, sodass jedes M σn ein beschränktes Martingal ist. ✸
Bemerkung 21.68. Ein beschränktes lokales Martingal M ist stets auch ein Martingal.
In der Tat: Ist |Mt| ≤C