Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

ft := lim
n→∞ n� �
〈M〉t −〈M〉 t−1/n
25.3 Die Itô-Formel 543
für t>0.
Dann ist f eine progressiv messbare Version der Radon-Nikodym Ableitung d〈M〉t
dt .
Klar ist � T
0 {ft>0} f −1
t d〈M〉t = T0, also sind die folgenden
Integrale wohldefiniert, und
� t
Wt :=
0
{fs>0} f −1/2
� t
s dMs +
0
{fs=0} d � Ws
ist als Summe stetiger lokaler Martingale selber eines. Nach Satz 25.22 ist
〈W 〉t =
=
= t.
� t
0
� t
0
{fs>0} f −1
� t
s d〈M〉s +
0
{fs>0} f −1
� t
s fs ds +
0
{fs=0} ds
{fs=0} ds
Nach Satz 25.28 ist W damit als Brown’sche Bewegung erkannt. Andererseits ist
� t
0
f 1/2
s dWs =
=
� t
0
� t
0
{fs>0} f 1/2
s
{fs>0} dMs.
f −1/2
s dMs +
� t
0
{fs=0} f 1/2
s
d � Ws
Nun ist aber Mt − � t
0 {fs>0} dMs = � t
0 {fs=0} dMs ein stetiges lokales Martingal
mit quadratischer Variation � t
0 {fs=0} d〈M〉s =0, also fast sicher gleich Null.
Also ist Mt = � t 1/2
f 0 s dWs, wie gewünscht. ✷
Wir kommen nun zu einer mehrdimensionalen Verallgemeinerung der (pfadweisen)
Itô-Formel. Sei hierzu Cd qV der Raum der stetigen Abbildungen X :[0, ∞) → Rd ,
t ↦→ Xt =(X1 t ,...,Xd t ), sodass für k, l =1,...,d die quadratische Kovariation
(siehe Definition 21.58) 〈Xk ,Xl 〉 existiert und stetig ist. Ferner sei C2 (Rd )
der Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen F auf Rd mit partiellen
Ableitungen ∂kF und ∂k∂lF , k, l =1,...,d.Mit∇F bezeichnen wir den
Gradienten und mit △ =(∂2 1 + ...+ ∂2 d ) den Laplace-Operator.
Satz 25.30 (Mehrdimensionale pfadweise Itô-Formel). Sei X ∈Cd qV
C
und F ∈
2 (Rd ). Dann gilt
� T
F (XT ) − F (X0) = ∇F dXs +
0
1
� T
2 0
d�
∂k∂lF (Xs) d〈X k ,X l 〉s.
Dabei ist
� T
0
∇F (Xs) dXs :=
k,l=1
d�
� T
∂kF (Xs) dX
k=1
0
k s .