Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

570 26 Stochastische Differentialgleichungen
Es folgt
d
dt gx,n �
−1
(t) = lim h g
h↓0 x,n (t + h) − g x,n �
(t)
n�
Pn[Yh = m] � g x,m (t) − g x,n �
(t)
= lim
h↓0 h −1
=
m=1
n�
q(n, m) g x,m (t)
m=1
� �
n
�
= γ g
2
x,n−1 (t) − g x,n �
(t) .
(26.29)
Offenbar ist g x,1 (t) =x für alle x ∈ [0, 1] und t ≥ 0 und g x,n (0) = x n . Das heißt,
g x,n löst (26.28), und daher gilt (26.27).
Nach Satz 15.4 ist die Familie (H( · ,n), n ∈ N) ⊂ C([0, 1]) trennend für
M1([0, 1]), also sind die Bedingungen von Satz 26.28 erfüllt, und X ist die eindeutige
schwache Lösung von (26.26) und ist ein starker Markovprozess. ✸
Bemerkung 26.30. Das Martingalproblem für die Wright-Fisher Diffusion sieht
fast genauso aus wie das diskrete Martingalproblem für das Moran-Modell (siehe
Beispiel 17.22) M N =(M N n )n∈N0 mit Populationsgröße N: M N ist ein Martingal
mit Werten in der Menge {0, 1/N,...,(N − 1)/N, 1} quadratischem Variations-
prozess
� M N �
n
2
=
N 2
n−1 �
k=0
M N k
� � N
1 − Mk .
In jedem Schritt kann M N nur entweder am Ort bleiben oder um 1/N nach oben
oder unten springen. In Übung 17.2.1 hatten wir gesehen, dass dadurch der Prozess
M N schon eindeutig beschrieben ist. Man kann zeigen, ähnlich wie in Satz 21.51
für Verzweigungsprozesse, dass die zeitlich reskalierten Moran-Prozesse ˜ M N t =
M N ⌊N 2t⌋ gegen die Wright-Fisher Diffusion mit γ =2konvergieren. Die Wright-
Fisher Diffusion tritt also als Limes-Modell eines genealogischen Modells auf und
beschreibt die Genfrequenz (das heißt, den relativen Anteil) eines bestimmten Allels
in einer Population, die durch die Generationenfolge in zufälliger Weise fluktuiert.
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Beispiel 26.31 (Feller’sche Verzweigungsdiffusion). Sei (ZN n )n∈N0 ein Galton-
Watson Verzweigungsprozess mit kritischer, geometrischer Nachkommenverteilung
pk =2−k−1 , k ∈ N0 und ZN 0 = N für jedes N ∈ N. DannistZNein diskretes
Martingal, und es gilt
��ZN E n − Z N � � �
2 ��Z N
n−1 n−1 = Z N n−1
� ∞ �
k=0
pk k 2 �
− 1 =2Z N n−1.