Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
Beweis. Die Aussage (i) wurde bereits in der Diskussion vor dem Satz gezeigt. Um
(ii) zu zeigen, berechnen wir die Verteilung von ˆ X n und zeigen, dass sie gegen die
von Z konvergiert.
Sei ˆ X n,1 der Vektor X n,1 =(X n I n 1 ,X2,...,X n I n 1 −1,Xn I n 1 +1,...,Xn n ), bei dem nur
die erste Koordinate größenverzerrt gezogen wurde. Wir zeigen:
Sei f(x) = � Γ (θ)/Γ (θ/n) n� · � n
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ˆX n,1 ∼ Dir (θ/n)+1,θ/n,...,θ/n. (24.5)
die Dichte von Dir θ/n;n. Die Dichte
k=1 x(θ/n)−1
k
f n,1 von Xn,1 berechnen wir durch Zerlegung nach dem Wert i von In 1 :
f n,1 (x) =
= nΓ (θ)
=
n�
x1 f(x2,...,xi,x1,xi+1,...,xn) =nx1 f(x)
i=1
Γ (θ/n)
n�
xθ/n
n 1 x
i=2
(θ/n)−1
i
Γ (θ +1)
Γ ((θ/n)+1)Γ (θ/n)
n�
xθ/n
n−1 1 x
i=2
(θ/n)−1
i .
Dies ist aber die Dichte von Dir (θ/n)+1,θ/n,...,θ/n. Nach Korollar 24.28 ist ˆ Xn,1 D =
(V n
1 , (1 − V n
1 )Y1,...,(1 − V n
1 )Yn−1), wobei V n
1 ∼ β (θ/n)+1,θ(n−1)/n und Y =
(Y1,...,Yn−1) ∼ Dirθ/n;n−1 unabhängig sind. Indem wir das Gezeigte nun auf Y
anwenden, erhalten wir sukzessive
wobei
Z n 1 = V n
1 und Z n � k−1 �
k =
i=1
und wobei V n
1 ,...,Vn n−1 unabhängig sind und V n
ˆX n D = Z n , (24.6)
(1 − V n
i )
�
V n
k
für k ≥ 2,
i ∼ β (θ/n)+1,θ(n−i)/n. Nun prüft
n→∞
man aber leicht nach, dass β (θ/n)+1,θ(n−i)/n −→ β1,θ für jedes i ∈ N, und β1,θ
hat die Dichte x ↦→ θ(1 − x) θ−1 . Es gilt also V n n→∞
i =⇒ Vi für jedes i und damit
n n→∞
Z =⇒ Z und ˆ n n→∞
X =⇒ Z. Zusammen mit (i) folgt hieraus die Aussage (ii). ✷
Unsere eingangs gestellte Frage nach den Größen W1,W2,... der Bruchstücke
von sukzessiv uniform verteilt zerbrochenen Stöcken ist damit geklärt: Der Vektor
(W (1),W (2),...) ist PD1-verteilt, und (W1,W2,...) ist GEM1-verteilt.
Der China-Restaurant Prozess
Wir wollen eine weitere Situation kennen lernen, in der die Poisson-Dirichlet-
Verteilung in natürlicher Weise auftaucht. Da die technischen Details etwas knifflig