Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

162 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Beweis. Für den Beweis greifen wir zurück auf den Satz von Radon-Nikodym (Korollar
7.34). Allerdings skizzieren wir den Beweis nur, weil wir die Theorie der
signierten Maße und Inhalte nicht vertiefen wollen. Ein signierter Inhalt ν ist eine
additive Mengenfunktion, die sich als Differenz ν = ν + − ν − zweier endlicher
Inhalte darstellen lässt, also auch negative Werte annehmen kann. (Diese Begriffsbildung
ist analog zu der des signierten Maßes, das sich ja als Differenz zweier
Maße darstellen lässt.)
Da κ eine Isometrie ist, ist κ insbesondere injektiv. Wir müssen also nur noch zeigen,
dass κ surjektiv ist. Sei F ∈ (L p (μ)) ′ .Dannistν(A) =F ( A) ein signierter Inhalt
auf A, und es gilt
|ν(A)| ≤�F � ′ p (μ(A)) 1/p .
Da μ ∅-stetig ist, ist also auch ν ∅-stetig und daher ein signiertes Maß auf A. Es gilt
sogar ν ≪ μ. Nach dem Satz von Radon-Nikodym (Korollar 7.34) (angewandt auf
die Maße ν − und ν + , vergleiche Übung 7.5.1) besitzt ν eine Dichte bezüglich μ,
also eine messbare Funktion f mit ν = fμ.
Sei Ee := {g : g ist Elementarfunktion mit μ(g �= 0)< ∞} und E + e := {g ∈
Ee : g ≥ 0}. Dannistfür g ∈ Ee
�
F (g) = gf dμ. (7.13)
Um zu zeigen, dass (7.13) für alle g ∈L p (μ) gilt, müssen wir zunächst zeigen, dass
f ∈L q (μ) liegt. Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall 1: p =1. Für jedes α>0 ist
μ({|f| >α}) ≤ 1
ν({|f| >α})
α
= 1
α F ( {|f|>α}) ≤ 1
α �F �′ 1 ·� {|f|>α}�1 = 1
α �F �′ 1 · μ({|f| >α}).
Es folgt μ({|f| >α}) =0, falls α>�F � ′ 1, also �f�∞ ≤�F � ′ 1 < ∞.
Fall 2: p ∈ (0, ∞). Nach Satz 1.96 existieren g1,g2,... ∈ E + e so, dass gn ↑|f|
μ–f.ü. Setzen wir hn =sign(f)(gn) q−1 ∈ Ee,sogilt
�gn� q �
q ≤ hnf dμ = F (hn)
≤ �F � ′ p ·�hn�p = �F � ′ p · (�gn�q) q−1 ,
also ist �gn�q ≤ �F � ′ p. Monotone Konvergenz (Satz 4.20) liefert nun �f�q ≤
�F � ′ p < ∞ also f ∈L q (μ).
Daher ist die Abbildung � F : g ↦→ � gf dμ in (L p (μ)) ′ und � F (g) =F (g) für jedes
g ∈ Ee.Da � F stetig ist und Ee ⊂ L p (μ) dicht liegt, gilt schon � F = F . ✷