Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

284 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Beispiel 15.5 (nach [72]). Im vorangehenden Satz können wir nicht ohne Weiteres
auf die Beschränktheit von X verzichten, selbst wenn alle Momente existieren
(es gibt allerdings schwächere Bedingungen, siehe Korollar 15.32). Wir betrachten
hierzu X := exp(Y ), wobei Y ∼N0,1. Die Verteilung von X heißt auch Log-
Normalverteilung. Für jedes n ∈ N ist nY verteilt wie die Summe von n2 unabhängigen,
standardnormalverteilten Zufallsvariablen nY D = Y1 + ...+ Yn2.Also ist für n ∈ N
E[X n ]=E[e nY ]=E[e Y1+...+Yn2 n
]=
2
�
E[e Yi ]=E[e Y ] n2
=
i=1
�� ∞
(2π)
−∞
−1/2 e y e −y2 � 2
n
/2
dy
= e n2 /2 .
(15.1)
Wir wollen nun gleich eine ganze Familie von Verteilungen konstruieren, die die
gleichen Momente wie X besitzen. Nach der Transformationsformel für Dichten
(Satz 1.101) hat die Verteilung von X die Dichte
f(x) = 1
√ x
2π −1 �
exp − 1
2 log(x)2
�
für x>0.
Für α ∈ [−1, 1] definieren wir Wahrscheinlichkeitsdichten fα auf (0, ∞) durch
fα(x) =f(x) � 1+α sin(2π log(x)) � .
Um zu zeigen, dass fα eine Dichte ist und die selben Momente wie f besitzt, reicht
es zu zeigen, dass für jedes n ∈ N0 gilt
m(n) :=
� ∞
0
x n f(x) sin(2π log(x)) dx =0.
Mit der Substitution y = log(x) − n erhalten wir (wegen sin(2π(y + n)) =
sin(2πy))
m(n) =
� ∞
−∞
e yn+n2
(2π) −1/2 e −(y+n)2 /2
sin(2π(y + n)) dy
=(2π) −1/2 e n2 /2
� ∞
e
−∞
−y2 /2
sin(2πy) dy =0,
wobei die letzte Gleichheit folgt, weil der Integrand eine ungerade Funktion ist. ✸
Satz 15.6 (Laplace-Transformation). Ein endliches Maß μ auf [0, ∞) ist eindeutig
bestimmt durch Angabe der Laplace-Transformierten
�
Lμ(λ) := e −λx μ(dx) für λ ≥ 0.