Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou 91 Übung 4.1.2. Sei 1 ≤ p ′
92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Petersburger Spiel). Wir wollen durch ein Beispiel zeigen, dass auf die Voraussetzung der Existenz einer integrierbaren Minorante im Lemma von Fatou nicht verzichtet werden kann. Wir betrachten ein Glücksspiel in einem Casino, bei dem in jeder Runde ein vom Spieler gewählter Einsatz entweder verdoppelt zurückgezahlt wird oder verloren geht. Dies ist etwa beim Roulette der Fall, wo der Spieler zum Beispiel auf Rot“ setzen kann. Kommt eine rote Zahl, so gewinnt der ” Spieler seinen Einsatz verdoppelt zurück, ansonsten verliert er ihn. Es gibt 37 Felder, von denen 18 rot sind und 18 schwarz, sowie die Null, die grün ist. Die Gewinnchance sollte also p = 18 1 37 < 2 betragen. Dieses Glücksspiel werde unendlich oft unabhängig hintereinander ausgeführt. Wir können es also auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) realisieren, wobei (Ω = {−1, 1} N , A =(2 {−1,1} ) ⊗N die von den Zylindern [ω1,...,ωn] erzeugte σ-Algebra ist und P =((1−p)δ−1 + pδ1) ⊗N das Produktmaß. Wir bezeichnen mit Dn : Ω →{−1, 1}, ω ↦→ ωn das Ergebnis der n-ten Runde für jedes n ∈ N. Macht der Spieler in der n-ten Runde den (zufälligen) Einsatz Hn, so beträgt die Summe der Gewinne nach der n-ten Runde n� Sn = HnDn. i=1 Wir nehmen nun an, dass der Spieler die folgende Strategie verfolgt: In der ersten Runde ist der Einsatz H1 =1. Gewinnt er, so setzt er in den folgenden Spielen gar nicht mehr, also ist Hn =0für jedes n ≥ 2, falls D1 =1. Verliert er hingegen, so setzt er in der zweiten Runde den doppelten Einsatz, also ist H2 =2, falls D1 = −1. Gibt die zweite Runde einen Gewinn, so setzt er ab der dritten Runde gar nicht mehr, andernfalls verdoppelt er wiederum seinen Einsatz in der dritten Runde und so weiter. Wir erhalten also als Strategie � 0, falls es ein i ∈{1,...,n− 1} gibt mit Di =1, Hn = 2n−1 , sonst. Man beachte, dass Hn nur von D1,...,Dn−1 abhängt, also messbar ist bezüglich σ(D1,...,Dn−1). Dies ist offenbar ein wichtige Forderung an jede Spielstrategie, da man die Entscheidung über den Einsatz aufgrund der vorhandenen Kenntnis zum jeweiligen Zeitpunkt treffen muss und nicht in die Zukunft blicken kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt n kein Spiel gewonnen wurde ist (1 − p) n , also ist P[Sn =1−2n ]=(1−p) n und P[Sn =1]=1− (1 − p) n .Man erwartet also im Mittel einen Gewinn von � Sn dP =(1−p) n (1 − 2 n )+(1− (1 − p) n )=1− � 2(1− p) �n ≤ 0, da p ≤ 1 2 ist (in den profitablen Spielbanken). Wir setzen nun � −∞, falls − 1=D1 = D2 = ..., S = 1, sonst.
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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Seite 53 und 54: 42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
Seite 55 und 56: 44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
Seite 57 und 58: 46 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
Seite 59 und 60: 48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
Seite 61 und 62: 50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
Seite 63 und 64: 52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
Seite 65 und 66: 54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
Seite 67 und 68: 56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
Seite 69 und 70: 58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
Seite 71 und 72: 60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
Seite 73 und 74: 62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
Seite 75 und 76: 64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
Seite 77 und 78: 66 2 Unabhängigkeit � � �
Seite 79 und 80: 68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
Seite 81 und 82: 70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
Seite 83 und 84: 72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
Seite 85 und 86: 74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
Seite 87 und 88: 76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
Seite 89 und 90: 78 3 Erzeugendenfunktion � � α
Seite 91 und 92: 80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
Seite 93 und 94: 82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
Seite 95 und 96: 84 4 Das Integral m� m� n� α
Seite 97 und 98: 86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
Seite 99 und 100: 88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
Seite 101: 90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
Seite 105 und 106: 94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
Seite 107 und 108: 96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
Seite 109 und 110: 98 5 Momente und Gesetze der Große
Seite 111 und 112: 100 5 Momente und Gesetze der Groß
Seite 135 und 136: 6 Konvergenzsätze Im starken und s
Seite 137 und 138: 6.1 Fast-überall- und stochastisch
Seite 139 und 140: 6.1 Fast-überall- und stochastisch
Seite 141 und 142: 6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 143 und 144: 6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 145 und 146: Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
Seite 147 und 148: 6.3 Vertauschung von Integral und A
Seite 149 und 150: 7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
Seite 151 und 152: 7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
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7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
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V ′ := {F : V → R ist stetig un
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7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
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166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
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168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
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170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
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172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
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174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
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176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
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178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
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180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
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182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
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184 9 Martingale E = Z (mit der dis
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186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
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188 9 Martingale Definition 9.22. I
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190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
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194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
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10 Optional Sampling Sätze Wir hab
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10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit
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11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
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und C = � a,b∈Q a
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
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11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
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12 Rückwärtsmartingale und Austau
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 233 und 234:
12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
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12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
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12.3 Satz von de Finetti 231 das he
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13 Konvergenz von Maßen In der Wah
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13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
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13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
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13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
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13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
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13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
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13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
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13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
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13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
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13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
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14 W-Maße auf Produkträumen Als M
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14.1 Produkträume 261 Definition 1
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14.2 Endliche Produkte und Übergan
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Seite 281 und 282:
14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
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15 Charakteristische Funktion und Z
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15.1 Trennende Funktionenklassen 28
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.4 Charakteristische Funktion und
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� � � �ϕ(t + h) − � n
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15.4 Charakteristische Funktion und
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15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
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Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
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15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
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316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
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Seite 337 und 338:
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17 Markovketten Markovprozesse mit
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
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Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
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1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
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17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
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17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
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17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
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18 Konvergenz von Markovketten Wir
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3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
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18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
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Dabei ist die Varianz des einzelnen
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19 Markovketten und elektrische Net
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19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
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19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
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19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
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x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
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19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
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19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
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19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
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Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
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Schritt 1. Die Schleife am rechten
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Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
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Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
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19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
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20 Ergodentheorie Gesetze der groß
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20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
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20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
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Beweis. Setze Yn := � � � n
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
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21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
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21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
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21.1 Stetige Modifikationen 433 s
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21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
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21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
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21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
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21.3 Starke Markoveigenschaft 441
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21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
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21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
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21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
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X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
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21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
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21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
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E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
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und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
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21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
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21.10 Quadratische Variation und lo
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Seite 475 und 476:
Seite 477 und 478:
Seite 479 und 480:
Seite 481 und 482:
Seite 483 und 484:
22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
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22.1 Iterierter Logarithmus für di
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22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490:
Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 493 und 494:
M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
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490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
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492 23 Große Abweichungen Beweis.
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494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
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496 23 Große Abweichungen Beweis.
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498 23 Große Abweichungen Übung 2
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500 23 Große Abweichungen Seien nu
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502 23 Große Abweichungen Analog i
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504 23 Große Abweichungen Untere S
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506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
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508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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Seite 525 und 526:
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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Seite 537 und 538:
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 543 und 544:
25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
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25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
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26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
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Die linke Seite in (26.6) ist aber
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und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
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1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
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3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
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Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
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Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
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Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
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Literatur 581 123. Jim Pitman und M
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Notation A Indikatorfunktion der Me
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μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
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Namensregister Banach, Stefan, 1892
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Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
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596 Sachregister -Itô-Formel - - m
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598 Sachregister Moran-Modell 343 d
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600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
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