Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15 Charakteristische Funktion und Zentraler
Grenzwertsatz
Hauptziel dieses Abschnitts ist der Zentrale Grenzwertsatz für Summen unabhängiger
Zufallsvariablen (Satz 15.37) und für unabhängige Schemata (Satz von
Lindeberg-Feller, Satz 15.43), wobei wir für den letzteren nur die eine Richtung
beweisen (Satz von Lindeberg).
Das Hilfsmittel der Wahl für die Behandlung von Zentralen Grenzwertsätzen sind
charakteristische Funktionen, also Fouriertransformierte von W-Maßen. Wir beginnen
mit einer sehr allgemeinen Betrachtung über Klassen von Testfunktionen, die
schwache Konvergenz charakterisieren können, und betrachten dann Fouriertransformierte
im Detail. Der nachfolgende Abschnitt beweist mit Hilfe von charakteristischen
Funktionen den Zentralen Grenzwertsatz für reelle Zufallsvariablen. Im
fünften Abschnitt zeigen wir den mehrdimensionalen Zentralen Grenzwertsatz.
15.1 Trennende Funktionenklassen
Sei (E,d) ein metrischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E = B(E).
Mit C = {u + iv : u, v ∈ R} bezeichnen wir den Körper der komplexen Zahlen.
Mit Re(u + iv) =u und Im(u + iv) =v bezeichnen wir den Realteil und den
Imaginärteil von z = u + iv ∈ C, mit z = u − iv die zu z komplex konjugierte Zahl
und mit |z| = √ u2 + v2 den Betrag von z. Von prominenter Bedeutung wird für
uns die komplexe Exponentialfunktion exp : C → C sein, die wir durch exp(z) =
exp(u) � cos(v)+i sin(v) � oder durch die Potenzreihe exp(z) = �∞ n=0 zn /n! definieren
können. Bekanntlich gilt exp(z1 + z2) =exp(z1) · exp(z2). Man beachte,
dass aus Re(z) =(z + z)/2 und Im(z) =(z− z)/2i folgt, dass
cos(x) = eix + e −ix
2
und sin(x) = eix − e −ix
2i
für jedes x ∈ R.
Eine Abbildung f : E → C ist genau dann messbar, wenn Re(f) und Im(f)
messbar sind (siehe Satz 1.90 mit C ∼ = R2 ). Insbesondere ist jede stetige Funktion
E → C messbar. Ist μ ∈M(E), sodefinieren wir
� �
�
fdμ:= Re(f) dμ + i Im(f) dμ,