Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 289
(v) Nach dem Additionstheorem für Winkelfunktionen ist
1 − cos(2tX) =2 � 1 − (cos(tX)) 2� ≤ 4 � 1 − cos(tX) � .
Bilde jetzt den Erwartungswert. ✷
Satz 15.12 (Charakteristische Funktionen wichtiger Verteilungen). Wir geben
für verschiedene Verteilungen P mit Dichte x ↦→ f(x) auf R oder Gewichten
P ({k}), k ∈ N0, die charakteristische Funktion ϕ(t) an:
Name
Symbol
Normal
N μ,σ 2
Gleichvert.
U [0,a]
Gleichvert.
U [−a,a]
Dreieck
Tria
Verteilung Char. Fkt.
Parameter auf Dichte / Gewicht ϕ(t)
μ ∈ R
σ 2 > 0
R
√ 1
2πσ2 exp
�
− (x−μ)2
2σ2 a>0 [0,a] 1/a e iat −1
iat
a>0 [−a, a] 1/2a
a>0 [−a, a]
� �
1
+
a 1 −|x|/a
1 1−cos(ax)
N.N. a>0 R π ax2 Gamma
Γθ,r
Exponential
expθ zweiseitig
Exponential
exp2 θ
Cauchy
Caua
Binomial
bn,p
Negativ
Binomial
b − r,p
Poisson
Poiλ
θ>0
r>0
[0, ∞)
�
e iμt · e −σ2 t 2 /2
sin(at)
at
2 1−cos(at)
a 2 t 2
(1 −|t|/a) +
θ r
Γ (r) xr−1 e−θx (1 − it/θ) −r
θ>0 [0, ∞) θe −θx θ
θ − it
θ>0 R
a>0 R
n ∈ N
p ∈ [0, 1] {0,...,n}
r>0
p ∈ (0, 1]
N0
θ
2 e−θ|x|
−λ λk
λ>0 N0 e k!
1 1
aπ 1+(x/a) 2
� �
n
p
k
k (1 − p) n−k
� �
−r
(−1)
k
kpr (1 − p) k
1
1+(t/a) 2
e −a|t|
� (1 − p)+pe it � n
�
p
1 − (1 − p)e it
exp � λ(e it − 1) �
� r