Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

354 17 Markovketten
Das hier verwendete Vorgehen hat den Nachteil, dass wir den lokalen zentralen
Grenzwertsatz bemüht haben, den wir nicht bewiesen haben. Wir wollen daher weitere
Ansätze betrachten, die ohne dieses Hilfsmittel auskommen und auch an sich
von Interesse sind.
Betrachten wir zunächst die eindimensionale einfache Irrfahrt, die mit Wahrscheinlichkeit
p einen Schritt nach rechts macht und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p einen
Schritt nach links. Dann ist
∞�
� �
2n
G(0, 0) = (p(1 − p))
n
n =
n=0
∞�
� �
−1/2
(−p(1 − p))
n
n .
Unter Benutzung des verallgemeinerten binomischen Lehrsatzes (Lemma 3.5) folgt
⎧
⎨ 1
� , falls p �=
G(0, 0) = (1 − 4p(1 − p))
⎩
1
2 ,
∞, falls p = 1
2 .
(17.19)
Wir erhalten also, dass die einfache Irrfahrt auf Z genau dann rekurrent ist, wenn
sie symmetrisch ist, also falls p = 1
2 gilt.
Die Transienz im Falle p �= 1
2 folgt natürlich auch direkt aus dem starken Gesetz
der großen Zahl, denn limn→∞ 1
nXn = E0[X1] =2p− 1 fast sicher. Tatsächlich
haben wir bei diesem Argument nur benutzt, dass die einzelnen Schritte von X
einen Erwartungswert haben, der ungleich Null ist.
Betrachten wir nun die allgemeinere Situation, wo X nicht notwendigerweise nur zu
den nächsten Nachbarn springt, wo aber immer noch E0[|X1|] < ∞ und E0[X0] =
0 gelten. Das starke Gesetz der großen Zahl liefert hier nicht direkt die gewünschte
Aussage, sondern wir müssen etwas sorgfältiger argumentieren.
Die Markoveigenschaft liefert für jedes N ∈ N und y �= x
k=0
k=0
n=0
N�
N� � 1
GN (x, y) := Px[Xk = y] = Px τy = k
Hieraus folgt für jedes L ∈ N
GN (0, 0) ≥
=
≥
1
2L +1
1
2L +1
1
2L +1
�
|y|≤L
N�
�
Py[Xl = y] ≤ GN (y, y).
� N−k
l=0
GN (0,y)
�
k=0 |y|≤L
N�
p k (0,y)
�
k=1 y: |y/k|≤L/N
p k (0,y).
Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahl ist lim infk→∞
für jedes ε>0, also folgt, wenn wir L = εN setzen
�
|y|≤εk pk (0,y)=1