Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

22 1 Grundlagen der Maßtheorie
U(An) �= ∅ für jedes n ∈ N. Wähle ε > 0 und zu jedem n ∈ N eine
Überdeckung Fn ∈U(An) mit
�
F ∈Fn
Dann ist F := � ∞
n=1 Fn ∈U(A) und
F ∈F
μ(F ) ≤ μ ∗ (An)+ε 2 −n .
μ ∗ (A) ≤ �
∞� �
∞�
μ(F ) ≤ μ(F ) ≤ μ ∗ (An)+ε. ✷
n=1 F ∈Fn
Definition 1.48 (μ ∗ -messbare Mengen). Sei μ ∗ ein äußeres Maß. Eine Menge A ∈
2 Ω heißt μ ∗ -messbar, falls
n=1
μ ∗ (A ∩ E)+μ ∗ (A c ∩ E) =μ ∗ (E) für jedes E ∈ 2 Ω . (1.10)
Wir schreiben M(μ ∗ )={A ∈ 2 Ω : A ist μ ∗ -messbar}.
Lemma 1.49. Es ist A ∈M(μ ∗ ) genau dann, wenn
μ ∗ (A ∩ E)+μ ∗ (A c ∩ E) ≤ μ ∗ (E) für jedes E ∈ 2 Ω .
Beweis. Da μ ∗ subadditiv ist, gilt stets die andere Ungleichung. ✷
Lemma 1.50. M(μ ∗ ) ist eine Algebra.
Beweis. Wir prüfen die Eigenschaften (i)-(iii) der Algebra aus Satz 1.7.
(i) Ω ∈M(μ∗ ) ist klar.
(ii) (Komplementstabilität) Per Definition ist A ∈M(μ∗ ) ⇐⇒ Ac ∈M(μ∗ ).
(iii) (Schnittstabilität) Seien A, B ∈M(μ∗ ) und E ∈ 2Ω .Dannist
μ ∗ ((A ∩ B) ∩ E)+μ ∗ ((A ∩ B) c ∩ E)
= μ ∗ (A ∩ B ∩ E)+μ ∗� (A c ∩ B ∩ E) ∪ (A c ∩ B c ∩ E) ∪ (A ∩ B c ∩ E) �
≤ μ ∗ (A ∩ B ∩ E)+μ ∗ (A c ∩ B ∩ E)
+ μ ∗ (A c ∩ B c ∩ E)+μ ∗ (A ∩ B c ∩ E)
= μ ∗ (B ∩ E)+μ ∗ (B c ∩ E)
= μ ∗ (E).
Dabei haben wir in der vorletzten Gleichung A ∈M(μ ∗ ) benutzt und in der letzten
B ∈M(μ ∗ ). ✷
Lemma 1.51. Ein äußeres Maß μ ∗ ist σ-additiv auf M(μ ∗ ).