Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.4 Charakteristische Funktion und Momente 299
Beweis. Für den Fall d =1siehe [20, §20, Satz 23] oder [53, Kapitel XIX.2, Seite
622]. Für den ganz allgemeinen Fall siehe etwa [70, Seite 293, Theorem 33.3]. ✷
Übung 15.3.1. (Vergleiche [49] und [3].) Man zeige: Es gibt zwei austauschbare
Folgen X =(Xn)n∈N und Y =(Yn)n∈N reeller Zufallsvariablen mit PX �= PY ,
jedoch mit
Anleitung:
n�
Xk
k=1
D
=
n�
Yk für jedes n ∈ N. (15.4)
k=1
(i) Definiere die charakteristischen Funktionen (siehe Satz 15.12) ϕ1(t) = 1
1+t2 und ϕ2(t) =(1−t/2) + . Zeige mit dem Satz von Pólya, dass
�
ϕ1(t), falls |t| ≤1,
ψ1(t) :=
ϕ2(t), falls |t| > 1,
und
�
ϕ2(t), falls |t| ≤1,
ψ2(t) :=
ϕ1(t), falls |t| > 1,
charakteristische Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R sind.
(ii) Definiere unabhängige Zufallsvariablen Xn,i, Yn,i, n ∈ N, i =1, 2, und Θn,
n ∈ N mit: Xn,i hat charakteristische Funktion ϕi, Yn,i hat charakteristische
Funktion ψi und P[Θn =1]=P[Θn = −1] = 1
2 . Setze Xn = Xn,Θn und
Yn = Yn,Θn . Zeige, dass (15.4) gilt.
(iii) Bestimme E[eit1X1+it2X2 ] und E[eit1Y1+it2Y2 ] für t1 = 1
2 und t2 =2und
folgere, dass (X1,X2) � D =(Y1,Y2) und damit PX �= PY . ♣
15.4 Charakteristische Funktion und Momente
Wir wollen den Zusammenhang zwischen den Ableitungen der charakteristischen
Funktion ϕX einer reellen Zufallsvariablen X und den Momenten von X untersuchen.
Wir beginnen mit einem elementaren Lemma.
Lemma 15.30. Für t ∈ R und n ∈ N gilt
�
�
�
�eit − 1 − it
�
(it)n−1 �
− ...− �
1! (n − 1)! �
≤ |t|n
n! .
Beweis. Dies folgt direkt aus der Taylorformel, da die n-te Ableitung von e it dem
Betrage nach 1 ist. ✷