Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 357
Nach der Fourier-Inversionsformel (Satz 15.10) erhalten wir aus φn die n-Schritt
Übergangswahrscheinlichkeiten zurück durch
�
Speziell ist für λ ∈ (0, 1)
∞�
p n (0,x)=(2π) −D
Rλ := λ
n=0
n p n (0, 0) = (2π) −D
n=0
=(2π) −D
�
=(2π) −D
�
[−π,π) D
[−π,π) D
[−π,π) D
e −i〈t,x〉 φ n (t) dt.
∞�
�
1
1 − λφ(t) dt.
� �
1
Re
1 − λφ(t)
[−π,π) D
λ n φ n (t) dt
Nun ist G(0, 0) = limλ↑1 Rλ, also
X ist rekurrent
�
⇐⇒ lim
λ↑1 [−π,π) D
� �
1
Re
dt = ∞.
1 − λφ(t)
(17.22)
Wäre φ(t) =1für ein t ∈ (−2π, 2π) D \{0},sowäre φ n (t) =1für jedes n ∈ N und
damit nach Übung 15.2.1 P0[〈Xn,t/(2π)〉 ∈Z] =1, also wäre X nicht irreduzibel,
im Widerspruch zur Annahme. Wegen der Stetigkeit von φ ist also für jedes ε>0
Es gilt also der folgende Satz.
dt.
inf � |φ(t) − 1| : t ∈ [−π, π) D \ (−ε, ε) D� > 0.
Satz 17.41 (Chung-Fuchs (1951)). Eine irreduzible Irrfahrt auf ZD mit charakteristischer
Funktion φ ist genau dann rekurrent, wenn für jedes ε>0 gilt:
� � �
1
lim Re
dt = ∞. (17.23)
λ↑1
1 − λφ(t)
(−ε,ε) D
Betrachten wir nun die symmetrische einfache Irrfahrt, so ist φ(t) = 1 �D D i=1 cos(ti).
Entwickeln wir die Kosinusfunktion in eine Taylorreihe um 0, so erhalten wir
cos(ti) =1− 1
2t2i + O(t4 ), also 1 − φ(t) = 1
2D �t�22 + O(�t�4 2). Es folgt, dass
X genau dann rekurrent ist, wenn �
�t�2