Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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440 21 Die Brown’sche Bewegung Nach Wahl von k und wegen der Stationarität der Zuwächse von B gilt P � � B ∈ AN ≤ lim n→∞ P � � ≤ lim sup n→∞ m≥n AN,m � ≤ lim sup n→∞ n P[B ∈ AN,n,1] ≤ N k lim sup n→∞ P[AN,n] ≤ lim sup n→∞ n� i=1 n 1+k(−γ+1/2) =0 P[AN,n,i] und damit P[B ∈ A] =0. Mithin ist fast sicher B �∈ Hγ. ✷ Übung 21.2.1. Sei B eine Brown’sche Bewegung und λ das Lebesgue-Maß auf [0, ∞). (i) Bestimme Erwartungswert und Varianz von � 1 0 Bs ds.(Für die Messbarkeit des Integrals siehe Übung 21.1.2.) (ii) Zeige, dass λ � {t : Bt =0} � =0fast sicher gilt. (iii) Bestimme Erwartungswert und Varianz von � 1 0 � � 1 0 � 1 Bt − 0 �2 Bs ds dt. ♣ Übung 21.2.2. Sei B eine Brown’sche Bewegung. Zeige, dass auch (B 2 t −t)t≥0 ein Martingal ist. ♣ Übung 21.2.3. Sei B eine Brown’sche Bewegung und σ > 0. Zeige, dass auch � � exp σBt − σ2 2 t�� ein Martingal ist. ♣ t≥0 Übung 21.2.4. Sei B eine Brown’sche Bewegung und a0} dx. (iii) Die Verteilung von τb hat die Dichte fb(x) = b √ 2π e −b2 /(2x) x −3/2 . ♣
21.3 Starke Markoveigenschaft 441 Übung 21.2.6. Sei B eine Brown’sche Bewegung, a ∈ R und b>0 sowie τ = inf{t ≥ 0: Bt = at + b}. Man zeige für λ ≥ 0 E � e −λτ � � =exp − ba − b � a2 + λ2 � und folgere P[τ
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
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44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
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48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
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50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
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52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
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54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
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56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
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58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
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60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
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62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
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64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
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66 2 Unabhängigkeit � � �
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68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
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70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
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72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
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74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
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76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
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78 3 Erzeugendenfunktion � � α
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80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
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82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
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84 4 Das Integral m� m� n� α
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86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
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88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
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90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
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92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
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94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
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96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
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98 5 Momente und Gesetze der Große
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100 5 Momente und Gesetze der Groß
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6 Konvergenzsätze Im starken und s
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
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Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
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6.3 Vertauschung von Integral und A
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7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
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7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
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V ′ := {F : V → R ist stetig un
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7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
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166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
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168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
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170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
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172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
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174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
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176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
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178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
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180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
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182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
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184 9 Martingale E = Z (mit der dis
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186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
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188 9 Martingale Definition 9.22. I
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190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
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194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
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10 Optional Sampling Sätze Wir hab
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10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.2 Optional Sampling und Optional
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Seite 217 und 218:
11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
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und C = � a,b∈Q a
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
Seite 225 und 226:
11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
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11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
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12 Rückwärtsmartingale und Austau
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 235 und 236:
1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
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12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
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12.3 Satz von de Finetti 231 das he
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13 Konvergenz von Maßen In der Wah
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13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
Seite 245 und 246:
13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
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13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
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13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
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Seite 257 und 258:
13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
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13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
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13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
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13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
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13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
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14 W-Maße auf Produkträumen Als M
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14.1 Produkträume 261 Definition 1
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14.2 Endliche Produkte und Übergan
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Seite 275 und 276:
Seite 277 und 278:
Seite 279 und 280:
Seite 281 und 282:
14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 285 und 286:
14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
Seite 289 und 290:
15 Charakteristische Funktion und Z
Seite 291 und 292:
15.1 Trennende Funktionenklassen 28
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Seite 295 und 296:
Seite 297 und 298:
15.2 Charakteristische Funktionen:
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.4 Charakteristische Funktion und
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� � � �ϕ(t + h) − � n
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15.4 Charakteristische Funktion und
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15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
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Seite 317 und 318:
Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
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Seite 321 und 322:
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
Seite 323 und 324:
316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
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Seite 335 und 336:
Seite 337 und 338:
Seite 339 und 340:
17 Markovketten Markovprozesse mit
Seite 341 und 342:
17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 343 und 344:
Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
Seite 345 und 346:
17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 347 und 348:
17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 349 und 350:
17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 351 und 352:
17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
Seite 353 und 354:
Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
Seite 357 und 358:
1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
Seite 359 und 360:
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
Seite 361 und 362:
Seite 363 und 364:
Seite 365 und 366:
Seite 367 und 368:
17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
Seite 369 und 370:
17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
Seite 371 und 372:
18 Konvergenz von Markovketten Wir
Seite 373 und 374:
3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
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18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
Seite 377 und 378:
Seite 379 und 380:
Seite 381 und 382:
Seite 383 und 384:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
Seite 387 und 388:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
Seite 391 und 392:
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
Seite 393 und 394:
Dabei ist die Varianz des einzelnen
Seite 395 und 396: 19 Markovketten und elektrische Net
Seite 397 und 398: 19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
Seite 399 und 400: 19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
Seite 401 und 402: 19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
Seite 403 und 404: x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
Seite 405 und 406: 19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
Seite 407 und 408: 19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
Seite 409 und 410: 19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
Seite 411 und 412: Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
Seite 413 und 414: Schritt 1. Die Schleife am rechten
Seite 415 und 416: Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
Seite 417 und 418: Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
Seite 419 und 420: 19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
Seite 421 und 422: 20 Ergodentheorie Gesetze der groß
Seite 423 und 424: 20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
Seite 425 und 426: 20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
Seite 427 und 428: Beweis. Setze Yn := � � � n
Seite 429 und 430: 20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 431 und 432: 20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 433 und 434: 1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
Seite 435 und 436: 21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
Seite 437 und 438: 21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
Seite 439 und 440: 21.1 Stetige Modifikationen 433 s
Seite 441 und 442: 21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
Seite 443 und 444: 21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 445: 21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 449 und 450: 21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
Seite 451 und 452: 21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
Seite 453 und 454: 21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
Seite 455 und 456: X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
Seite 457 und 458: 21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460: 21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462: 21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 463 und 464: 21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
Seite 465 und 466: E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
Seite 467 und 468: und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
Seite 469 und 470: 21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
Seite 471 und 472: 21.10 Quadratische Variation und lo
Seite 483 und 484: 22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
Seite 485 und 486: 22.1 Iterierter Logarithmus für di
Seite 487 und 488: 22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490: Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492: 22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 493 und 494: M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
Seite 495 und 496: 490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
Seite 497 und 498:
492 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 499 und 500:
494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
Seite 501 und 502:
496 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 503 und 504:
498 23 Große Abweichungen Übung 2
Seite 505 und 506:
500 23 Große Abweichungen Seien nu
Seite 507 und 508:
502 23 Große Abweichungen Analog i
Seite 509 und 510:
504 23 Große Abweichungen Untere S
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506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
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508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
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25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
Seite 557 und 558:
26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
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Die linke Seite in (26.6) ist aber
Seite 561 und 562:
und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
Seite 563 und 564:
1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
Seite 567 und 568:
26.2 Schwache Lösungen und Marting
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Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
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3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
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Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
Seite 587 und 588:
Notation A Indikatorfunktion der Me
Seite 589 und 590:
μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
Seite 599 und 600:
596 Sachregister -Itô-Formel - - m
Seite 601 und 602:
598 Sachregister Moran-Modell 343 d
Seite 603 und 604:
600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
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