Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

534 25 Das Itô-Integral
Satz 25.18. Sei H progressiv messbar und E � � T
0 H2 s ds � < ∞ für alle T > 0.
Dann definiert
� t
Mt := Hs dWs, t ≥ 0,
ein quadratintegrierbares, stetiges Martingal, und
�
(Nt)t≥0 := M 2 � t
t −
ist ein stetiges Martingal mit N0 =0.
0
0
H 2 s ds
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass N ein Martingal ist. Offenbar ist N adaptiert.
Sei τ ein beschränkte Stoppzeit. Dann ist
E � �
�
Nτ = E M 2 � τ
τ − H 2 �
s ds
0
�� � ∞
= E
0
H (τ)
�2� s dWs − E
�
� � ∞
0
t≥0
�
� � (τ) 2
H s ds =0.
Nach dem Optional Stopping Theorem (siehe Übung 21.1.3(iii)) ist N damit als
Martingal erkannt. ✷
Wir erinnern an den Begriff des lokales Martingals und der quadratischen Variation
aus Kapitel 21.10.
Korollar 25.19. Ist H ∈Eloc, so ist das Itô-Integral Mt = � t
0 Hs dWs ein stetiges
lokales Martingal mit quadratischem Variationsprozess 〈M〉t = � t
0 H2 s ds.
Beispiel 25.20. (i) Wt = � t
0 1 dWs ist ein quadratintegrierbares Martingal, und
(W 2 t − t)t≥0 ist ein stetiges Martingal.
(ii) Wegen E � � T
0 W 2 s ds � 2
T = 2 < ∞ für alle T ≥ 0 ist Mt := � t
0 Ws dWs �
ein
stetiges, quadratintegrierbares Martingal, und M 2 t − � t
0 W 2 �
s ds ist ein
t≥0
stetiges Martingal.
(iii) Sei H progressiv messbar und beschränkt sowie Mt := � t
0 Hs dWs.Dannist
M progressiv messbar (weil stetig und adaptiert) und
� � T
E M
0
2 � � T � � s
s ds = E
0 0
� H 2 �2 �
r dr
ds ≤ T 2 �H�2 ∞
.
2
Also ist � Mt := � t
0 Ms dWs �
ein quadratisch integrierbares, stetiges Martingal
und �M 2
t − � t
0 M 2 �
s dWs ist ein stetiges Martingal. ✸
t≥0