Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

276 14 W-Maße auf Produkträumen
A paarweise disjunkt und A := �∞ n=1 An, sogibtesabzählbare Jn ⊂ I mit An �
∈
σ(XJn ) für n ∈ N. Setze J = n∈N Jn. Dann ist jedes An in σ(XJ) und damit
auch A ∈ σ(XJ), also
P (A) = ˜ ∞�
∞�
PJ(A) = ˜PJ(An) = P (An).
n=1
Damit ist P als W-Maß erkannt. ✷
Beispiel 14.37. Sei � (Ωi,τi), i∈ I � eine beliebige Familie von polnischen Räumen
(Erinnerung: nach Satz 8.35 sind polnische Räume auch Borel’sche Räume),
Ai = σ(τi) und Pi ein beliebiges W-Maß auf (Ωi, Ai). Für endliches J ⊂ I sei
PJ = �
j∈J Pj das Produktmaß der Pj, j ∈ J. Offenbar ist die Familie (PJ, J⊂ I
endlich) projektiv. Wir nennen
P = �
i∈I
Pi := lim PJ
←−
J↑I
das Produktmaß auf (Ω,A). Unter P sind alle Projektionen Xj unabhängig. ✸
Beispiel 14.38. (Pólya’sches Urnenmodell) (Vergleiche Beispiel 12.29.) Zunächst
befinden sich k rote und n − k blaue Kugeln in einer Urne. Es wird in jedem Zeitschritt
eine Kugel gezogen und zusammen mit einer weiteren Kugel der selben Farbe
zurückgelegt. Zur Zeit i ∈ N0 befinden sich also n + i Kugeln in der Urne, wobei
die Anzahl Xi der roten Kugeln zufällig ist.
Formal definieren wir das Modell so: Sei n ∈ N und k ∈ {0,...,n}. Sei
I = N0,Ωi = {0,...,n + i}, i ∈ N. Setze P0[{k}] = 1 und definiere die
stochastischen Kerne κi von Ωi nach Ωi+1 durch
n=1
⎧
⎪⎨
xi
n+i
κi(xi, {xi+1}) =
⎪⎩
, falls xi+1 = xi +1,
1 − xi
n+i , falls xi+1
0,
= xi,
sonst.
Setze nun Pi+1 = Pi ⊗ κi. Unter dem Maß P = lim
←−
Pi beschreiben die Projek-
i→∞
tionen (Xi, i∈ N0) gerade das Pólya’sche Urnenmodell. ✸
14.4 Markov’sche Halbgruppen
Definition 14.39. Sei E ein polnischer Raum. Sei I ⊂ R eine nichtleere Indexmenge
und (κs,t : s, t ∈ I,s