Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

54 2 Unabhängigkeit
(iii) ” =⇒ “ Sei J ⊂ I endlich. Wir zeigen: Für je zwei endliche Mengen J und
J ′ mit J ⊂ J ′ ⊂ I gilt
�
�
P
i∈J ′
Ei
�
= �
�
Ei ∈ σ(Ei), falls i ∈ J,
P[Ei] für jede Wahl
Ei ∈Ei, falls i ∈ J ′ \ J.
i∈J ′
(2.7)
Mit J ′ = J ist dies genau die zu zeigende Aussage.
Wir führen den Beweis von (2.7) durch vollständige Induktion nach #J.Für #J =
0 gilt (2.7) nach Voraussetzung des Satzes.
Es gelte nun (2.7) für jedes J mit #J = n und jedes endliche J ′ ⊃ J. Sei solch ein
J gewählt und j ∈ I \ J.SeiJ ′ ⊃ ˜ J := J ∪{j}. Wir zeigen nun die Gültigkeit von
(2.7) mit ˜ J statt mit J.Wegen# ˜ J = n +1ist damit der Induktionsschritt gezeigt.
Sei Ei ∈ σ(Ei) für jedes i ∈ J und Ei ∈Eifür jedes i ∈ J ′ \ (J ∪{j}). Wir
definieren Maße μ und ν auf (Ω,A) durch
�
�
�
μ : Ej ↦→ P
und ν : Ej ↦→ �
P[Ei].
i∈J ′
Ei
Nach Induktionsvoraussetzung (2.7) gilt μ(Ej) =ν(Ej) für jedes Ej ∈Ej∪{∅,Ω}.
Da Ej ∪ {∅} schnittstabil ist, gilt nach Lemma 1.42 auch μ(Ej) =ν(Ej) für jedes
Ej ∈ σ(Ej), das heißt, es gilt (2.7) mit J ∪{j} statt J.
(iv) Dies ist trivial, weil (2.6) nur für J ⊂ I mit
i∈J ′
#(J ∩ Ik) ≤ 1 für jedes k ∈ K,
nachgewiesen werden muss. ✷
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Nachdem wir Unabhängigkeit von Ereignissen behandelt haben, wollen wir auch
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen betrachten. Auch hier läuft die Definition
auf eine Produktformel hinaus. Formal können wir jedoch die Unabhängigkeit der
von Zufallsvariablen erzeugten σ-Algebren als Definition heranziehen. Wir können
dann Verteilungen von Summen unabhängiger Zufallsvariablen vermittels Faltung
ausrechnen. Da wir an dieser Stelle noch keinen allgemeinen Integralbegriff zur
Verfügung haben, bringen wir die Faltung zunächst nur für Zufallsvariablen mit
ganzzahligen Werten.
Sei I eine beliebige Indexmenge, und für jedes i ∈ I sei (Ωi, Ai) ein Messraum
sowie Xi :(Ω,A) → (Ωi, Ai) eine Zufallsvariable mit erzeugter σ-Algebra
σ(Xi) =X −1
i (Ai).