Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

346 17 Markovketten
Man prüft leicht nach, dass
lim
s↓0
1�
�pt+s(x, y) − pt(x, y)
s
� =(q · pt)(x, y)
gilt, das heißt, es gilt (d/dt)pt(x, y) =qpt(x, y) und analog (d/dt)�pt = q �pt(x, y).
Damit gilt ebenfalls
pt(x, y) − �pt(x, y) =
� t
0
� q(ps − �ps) � (x, y) ds.
Setzen wir rs = ps − �ps,soist�rs�2 ≤ 2 und �q�2 ≤ 2λ, also
sup �rs�2 ≤ sup
s≤t
s≤t
� t
0
�qru�2 du ≤�q�2 sup
s≤t
� t
0
�ru�2 du ≤ 2λt sup �rs�2.
s≤t
Für tt]
= P[Tn ≤ s + t − Sn |Sn ≤ t, Tn >t− Sn] =P[Tn ≤ s]
=1− exp(−n 2 s).
lim s
s↓0 −1 P[Xt+s = n +1|Xt = n] =n 2
lim s
s↓0 −1� P[Xt+s = n|Xt = n] − 1 � = −n 2 ,
lim
s↓0 s −1 � P[Xt+s = m|Xt = n] − I(m, n) � = q(m, n) für alle m, n ∈ N.