Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Konvergenz gegen stabile Verteilungen
16.2 Stabile Verteilungen 329
Zur Abrundung des Bildes zitieren wir aus [53, Kapitel XVII.5] (siehe auch [61]
und [120]) Sätze darüber, dass nur stabile Verteilungen als Grenzverteilungen reskalierter
Summen von u.i.v. Zufallsvariablen X1,X2,...auftreten können, wie die
genauen Skalierungen aussehen, und welche Verteilungen PX1 zu welchen Grenzverteilungen
führen.
Seien im Folgenden X, X1,X2,...u.i.v. Zufallsvariablen und Sn = X1 +...+Xn
für n ∈ N.
Definition 16.22 (Anziehungsbereich einer Verteilung). Sei μ ∈ M1(R)
nicht auf einen Punkt konzentriert. Der Anziehungsbereich (domain of attraction)
Dom(μ) ⊂M1(R) ist die Menge aller Verteilungen PX mit der Eigenschaft, dass
es Folgen reeller Zahlen (an)n∈N und (bn)n∈N gibt mit
Sn − bn
an
n→∞
=⇒ μ.
Ist μ stabil (im weiteren Sinne) mit Index α ∈ (0, 2], so liegt PX im normalen
Anziehungsbereich (domain of normal attraction), falls an = n 1/α gewählt werden
kann.
Satz 16.23. Sei μ ∈M1(R) nicht auf einen Punkt konzentriert. Genau dann ist
Dom(μ) �= ∅, wennμ stabil (im weiteren Sinne) ist. Es gilt dann μ ∈ Dom(μ).
Eine wichtige Rolle spielt im Folgenden die Funktion
U(x) :=E � X 2 �
{|X|≤x} . (16.19)
Eine Funktion H :(0, ∞) → (0, ∞) heißt langsam variierend bei ∞, falls
H(γx)
lim =1
x→∞ H(x)
für alle γ>0.
Wir nehmen im Folgenden an, dass es ein α ∈ (0, 2] gibt, mit der Eigenschaft:
U(x) x α−2 ist langsam variierend bei ∞. (16.20)
Satz 16.24. (i) Liegt PX im Anziehungsbereich einer Verteilung, dann existiert
ein α ∈ (0, 2], sodass (16.20) gilt.
(ii) Im Falle α =2gilt: Ist PX nicht in einem Punkt konzentriert, so ist (16.20)
hinreichend dafür, dass PX im Anziehungsbereich einer Verteilung liegt.
(iii) Im Falle α ∈ (0, 2) gilt: Genau dann liegt PX im Anziehungsbereich einer
Verteilung, wenn (16.20) gilt und
P[X ≥ x]
p := lim
existiert. (16.21)
x→∞ P[|X| ≥x]