Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 267
P[X + Y ≤ x] =P[(X, Y ) ∈ A]
�
=
Rn ×Rn �
=
Rn ��
Rn A(u, v) fX(u) λ n �
(du)
�
=
Rn �� fX(u) λ
(−∞,x−v]
n �
(du)
�
=
Rn �� fX(u − v) λ
(−∞,x]
n �
(du)
� ��
=
�
=
(−∞,x]
A(u, v) fX(u) fY (v) (λ n ) ⊗2 (d(u, v))
R n
(fX ∗ fY ) dλ
(−∞,x]
n .
fY (v) λ n (dv)
fY (v) λ n (dv)
fY (v) λ n (dv)
fX(u − v) fY (v) λ n �
(dv) λ n (du)
(ii) Ersetze in (i) μ = PX und ν = PY . Die Aussage folgt unmittelbar. ✷
Wir kommen zu einer Begriffsbildung, die diejenige der Produktmaße verallgemeinert
und in Richtung unseres Eingangsbeispiels steuert.
Wir erinnern an den Begriff des Übergangskerns aus Definition 8.24.
Lemma 14.20. Sei κ ein endlicher Übergangskern von (Ω1, A1) nach (Ω2, A2),
und sei f : Ω1 × Ω2 → [0, ∞] messbar bezüglich A1 ⊗A2 −B([0, ∞]). Dann ist
die Abbildung
If : Ω1 → [0, ∞]
�
ω1 ↦→ f(ω1,ω2) κ(ω1,dω2)
wohldefiniert und A1–messbar.
Beweis. Nach Lemma 14.13 ist für jedes ω1 ∈ Ω1 die Abbildung fω1 messbar
bezüglich A2, also ist If (ω1) = � fω1 (ω2) κ(ω1,dω2) wohldefiniert. Wir müssen
also nur noch die Messbarkeit von If zeigen.
Ist g = A1×A2 für A1 ∈A1und A2 ∈A2, soistIg(ω1) = A1 (ω1)κ(ω1,A2)
offenbar messbar. Sei nun D = � A ∈A1⊗A2 : I ist A1–messbar A � . Wir zeigen,
dass D ein Dynkin-System ist:
(i) Offenbar ist Ω1 × Ω2 ∈D.
(ii) Sind A, B ∈Dmit A ⊂ B,soistI B\A = I B − I A messbar, wobei wir die
Endlichkeit von κ ausgenutzt haben, also ist B \ A ∈D.