Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

126 6 Konvergenzsätze
Seien f,f1,f2,... : Ω → E messbar bezüglich A – B(E).
Definition 6.2. Wir sagen: (fn)n∈N konvergiert gegen f
stoch
(i) μ-stochastisch (oder dem Maße nach), in Formeln fn −→ f,wennfür jedes
A ∈Amit μ(A) < ∞ und für jedes ε>0 gilt, dass
μ({d(f,fn) >ε}∩A) n→∞
−→ 0.
f.ü.
(ii) μ-fast überall, in Formeln fn −→ f, wenn es eine μ-Nullmenge N ∈Agibt,
sodass für jedes ω ∈ Ω \ N gilt, dass
d(f(ω),fn(ω)) n→∞
−→ 0.
Ist μ ein W-Maß, so sagen wir in diesem Fall auch, dass (fn)n∈N fast sicher
f.s.
konvergiert und schreiben fn −→ f. Gelegentlich werden die Hinweise fast
”
überall“ und fast sicher“ auch weglassen.
”
Bemerkung 6.3. Fast-überall-Konvergenz ist äquivalent zur Fast-überall-Konvergenz
auf allen Mengen endlichen Maßes. ✸
Bemerkung 6.4. Fast-überall-Konvergenz impliziert die stochastische: Sei zu ε>0
Dn(ε) ={d(f,fm) >ε für ein m ≥ n}.
Dann gilt D(ε) := �∞ n=1 Dn(ε) ⊂ N, wobei N die Nullmenge aus der Definition
der F.ü.-Konvergenz ist. Die σ-Stetigkeit von oben von μ impliziert μ(Dn(ε) ∩
A) n→∞
−→ μ(D(ε) ∩ A) =0für jedes A ∈Amit μ(A) < ∞. ✸
Bemerkung 6.5. Stochastische oder Fast-überall-Konvergenz legen den Grenzwert
stoch
stoch
eindeutig fest bis auf Gleichheit fast überall. In der Tat: Sei fn −→ f und fn −→ g.
Seien A1,A2,... ∈Amit An ↑ Ω und μ(An) < ∞ für jedes n ∈ N. Dannist
(wegen d(f,g) ≤ d(f,fn)+d(g, fn)) für jedes m ∈ N und ε>0
μ � Am ∩{d(f,g) >ε} �
≤ μ � Am ∩{d(f,fn) >ε/2} � + μ � Am ∩{d(g, fn) >ε/2} � n→∞
−→ 0.
Also ist μ � {d(f,g) > 0} � =0. ✸
Bemerkung 6.6. Im Allgemeinen impliziert stochastische Konvergenz nicht F.ü.-
Konvergenz. In der Tat: Sei (Xn)n∈N eine unabhängige Familie von Zufallsvari-
stoch
ablen mit Xn ∼ Ber1/n. Dann gilt Xn −→ 0, jedoch ist nach dem Lemma von
Borel-Cantelli lim supn→∞ Xn =1fast sicher. ✸