Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 475
〈M,N〉 heißt quadratischer Kovariationsprozess von M und N. Es gilt für jede
zulässige Zerlegungsfolge P und jedes T ≥ 0
�
〈M,N〉T = lim
n→∞
t∈Pn T
� �� �
Mt ′ − Mt Nt ′ − Nt stochastisch. (21.60)
Beweis. Existenz. Offenbar gilt M + N,M − N ∈Mloc,c.Wirdefinieren
〈M,N〉 := 1�
�
〈M + N〉−〈M − N〉 .
4
Als Differenz monoton wachsender Funktionen ist 〈M,N〉 von lokal endlicher Variation.
Wegen Satz 21.70(iii) folgt (21.60). Weiter ist
MN −〈M,N〉 = 1�
� 2 1�
�
2
(M + N) −〈M + N〉 − (M − N) −〈M − N〉
4
4
ein lokales Martingal.
Eindeutigkeit. Seien A und A ′ mit A0 = A ′ 0 = 0 stetig, adaptiert und von
lokal endlicher Variation, sodass MN − A und MN − A ′ in Mloc,c sind. Dann ist
A − A ′ ∈Mloc,c von lokal endlicher Variation, also A − A ′ =0. ✷
Korollar 21.74. Ist M ∈Mloc,c und A stetig und adaptiert mit 〈A〉 ≡0, soist
〈M + A〉 = 〈M〉.
Ist M ein stetiges lokales Martingal bis zur Stoppzeit τ, soistM τ ∈Mloc,c, und
wir schreiben 〈M〉t := 〈M τ 〉t für t