Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

72 2 Unabhängigkeit
2. Schritt Wir zeigen:
Pp[N = m] =0 für jedes m ∈ N \{1}. (2.14)
Sei also m =2, 3,... Wir nehmen an, dass P[N = m] =1gilt und führen dies
zum Widerspruch.
Für L ∈ N setzen wir BL := {−L,...,L} d und bezeichnen mit KL = {k =
〈x, y〉 ∈K : x, y ∈ BL} die Menge der Kanten, deren beide Endpunkte in BL
liegen. Für i =0, 1 sei Di L := {Xp k = i für alle k ∈ KL}. SeiN1 L die Anzahl der
unendlichen Cluster, wenn wir (unabhängig vom Wert von X p
k ) jede Kante k in KL
als offen betrachten. Analog definieren wir N 0 L , wobei wir hier die Kanten in KL
als geschlossen betrachten. Wegen Pp[Di L ] > 0, und wegen N = m fast sicher, gilt
N i L = m fast sicher für i =0, 1.
Sei
A 2 � � � � p 1 p 2 p 1
L:=
C (x ) ∩ C (x )=∅ ∩ #C (x )=#Cp(x 2 )=∞ �
x 1 ,x 2 ∈BL\BL−1
das Ereignis, dass es zwei Punkte auf dem Rand von BL gibt, die in unterschiedlichen,
unendlich großen, offenen Clustern sitzen. Offenbar gilt A2 L ↑{N ≥ 2} für
L →∞.
Sei A2 L,0 ähnlich wie A2L definiert, jedoch wollen wir alle Kanten k ∈ KL als
geschlossen betrachten, egal ob X p
k =1oder Xp
k =0ist. Tritt A2L ein, so gibt es
zwei Punkte x1 ,x2 auf dem Rand von BL und zu jedem i =1, 2 einen unendlich
langen selbstüberschneidungsfreien, offenen Pfad πxi, der in xi startet und x3−i vermeidet. Es gilt also A2 L ⊂ A2L,0 .Wähle nun L so groß, dass P[A2L,0 ] > 0 ist.
Tritt A 2 L,0 ein und werden alle Kanten in BL geöffnet, so werden mindestens zwei
der unendlich großen, offenen Cluster durch Kanten in BL verbunden, die Gesamt-
zahl der unendlich großen, offenen Cluster also um mindestens Eins verringert. Es
folgt Pp[N 1 L ≤ N 0 L − 1] ≥ Pp[A2 L,0 ] > 0, was einen Widerspruch bedeutet.
3. Schritt Da wir im zweiten Schritt bereits gezeigt haben, dass N fast sicher
keinen endlichen Wert größer als 1 annimmt, brauchen wir nun nur noch zu zeigen,
dass N fast sicher nicht den Wert ∞ annimmt. Wir zeigen hier, dass in der Tat gilt:
Pp[N ≥ 3] = 0. (2.15)
Dieses ist der schwierigste Teil. Wir nehmen an, dass Pp[N ≥ 3] > 0 gilt und
führen dies zum Widerspruch.
Wir nennen einen Punkt x ∈ Z d einen Trifurkationspunkt, falls x in einem unendlich
großen, offenen Cluster C p (x) liegt, genau drei offene Kanten zu x führen und
die Wegnahme dieser drei Kanten C p (x) in drei unendlich große, disjunkte Cluster
zerteilt. Mit T bezeichnen wir die Menge der Trifurkationspunkte und schreiben
TL := T ∩ BL. Seir := Pp[0 ∈ T ]. Aufgrund der Translationsinvarianz gilt
(#BL) −1 Ep[#TL] =r für jedes L.