Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz 485
2. Schritt Wir zeigen: die Folge (Xn)n∈N0 ist ein Markovprozess mit (inhomogenen)
Übergangswahrscheinlichkeiten
P � Xn+1 = μ (σ,±) � �
� (σ,∓) σ
�
μ − μ
Gn] =
� �
μ (σ,+) − μ (σ,−) , falls Xn = μ σ . (22.11)
Hierdurch ist die Verteilung von (Xn)n∈N0 natürlich eindeutig festgelegt.
Offenbar ist (Xn)n∈N0 ein Markovprozess, weil σ(Xn) =Gn per Konstruktion gilt.
Aus der Martingaleigenschaft E[Xn+1|Xn = μ σ ]=μ σ ergeben sich die Übergangswahrscheinlichkeiten.
3. Schritt Wir definieren Stoppzeiten τ0 =0und
�
τn+1 := inf t ≥ τn : Bt ∈ � μ σ : σ ∈{−, +} n+1��
,
sowie τ := sup n∈N τn. Wegen der Monotonie von σ ↦→ μ σ liegt für σ ∈{−, +} n
in (μ (σ,−) ,μ σ ) und (μ σ ,μ (σ,+) ) kein weiteres μ ϱ , ϱ ∈ {−, +} n+1 .Alsoist
P[Bτn+1 ∈{μ(σ,−) ,μ (σ,+) } � �Bτn = μσ �
]=1. Nach dem Optional Sampling Theorem
(Übung 21.1.3) ist � E[Bτn+1
Fτn ]=Bτn und damit
P � Bτn+1 = μ(σ,±) � �Fτn ]=
�
� (σ,∓) σ μ − μ � �
μ (σ,+) − μ (σ,−) , falls Bτn = μσ .
Also ist (Bτn )n∈N0 ein Markovprozess mit den selben Übergangswahrscheinlichkeiten
wie (Xn)n∈N0 , und damit gilt
Also gilt auch Bτn
Sukzessive erhält man
(Bτn )n∈N0
D
=(Xn)n∈N0 .
n→∞
−→ Bτ fast sicher und Bτ
E[τ1] =−μ − μ + = Var[X1].
E[τn] =
D
= X. Ferner ist
n�
Var[Xm − Xm−1].
m=1
Da (Xn)n∈N ein Martingal ist, sind die Differenzen unkorreliert, also
E[τ] =
∞�
n=1
Var[Xn+1 − Xn] = lim
n→∞ Var[Xn] =Var[X],
nach (22.9) und wegen X = X∞. Damit ist der Beweis von Bemerkung 22.6 erbracht.
✷