Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

554 26 Stochastische Differentialgleichungen
hat die starke Lösung
� �
Xt = ξ exp αWt + β − α2
� �
t .
2
In der Terminologie von Definition 26.1 ist σ(t, x) =αx, b(t, x) =βx und
� � �
F (x, w) = t ↦→ x exp αw(t)+ β − α2
� ��
t
2
für alle w ∈ C([0, ∞); R) und x ∈ R. In der Tat ist nach der zeitabhängigen Itô-
Formel (Korollar 25.34)
� t
� t ��
Xt = ξ + αXs dWs + β − α2
�
+
2
1
2 α2
�
Xs ds.
0
0
Auch in diesem Fall gilt starke Eindeutigkeit der Lösung (siehe Satz 26.8). Der
Prozess X heißt geometrische Brown’sche Bewegung und dient beispielsweise
zur Modellierung von Aktienkursen im so genannten Black-Scholes Modell. ✸
Wir geben nun ein einfaches Kriterium für die Existenz und Eindeutigkeit starker
Lösungen an. Für eine n × m Matrix A definieren wir die Hilbert-Schmidt Norm
�
�A� = Spur � AAT � �
�
�
n� n�
= �
. (26.5)
i=1 j=1
Für b ∈ R n verwenden wir die euklidische Norm �b�. Da alle Normen auf endlichdimensionalen
Vektorräumen äquivalent sind, spielt es keine wesentliche Rolle,
welche Norm wir genau benutzen. Allerdings vereinfacht die hier eingeführte Norm
die Rechnungen, wie das folgende Lemma zeigt.
Lemma 26.7. Sei t ↦→ H(t) =(Hij(t))i=1,...,n, j=1,...,m progressiv messbar und
E � � T
0 H2 ij (t) dt� < ∞ für alle i, j. Dann gilt
�� �
��� T
E
0
�
�2�
H(t) dWt
�
�
wobei �H� die Hilbert-Schmidt Norm aus (26.5) bezeichnet.
Beweis. Für i =1,...,nist Ii(t) := � m
mit Variationsprozess 〈Ii〉t = � t
0
A 2 i,j
� � T
= E �H(t)�
0
2 �
dt , (26.6)
j=1
� m
j=1 H2 ij
E � (Ii(T )) 2� � � T
= E
0
� t
0 Hij(s) dW j s ein stetiges Martingal
(s) ds. Daher ist
m�
j=1
H 2 �
ij(s) ds.