Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

538 25 Das Itô-Integral
� T
H
0
2 s σ 2 s ds < ∞ f.s. für alle T ≥ 0 (25.7)
und � T
|Hsbs| ds < ∞ f.s. für alle T ≥ 0, (25.8)
so ist der durch
� t
Yt :=
0
0
Hs dXs :=
� t
0
Hs dMs +
� t
0
Hs dAs :=
� t
0
Hsσs dWs +
� t
Hsbs ds
0
definierte Prozess Y eine verallgemeinerte Diffusion mit Diffusionskoeffizienten
(Hsσs)s≥0 und Drift (Hsbs)s≥0. Speziell ist Nt := � t
0 Hs dMs ein stetiges lokales
Martingal mit Variationsprozess 〈N〉t = � t
0 H2 s d〈M〉s = � t
0 H2 s σ2 s ds.
Übung 25.2.1. Sei M ein stetiges lokales Martingal mit absolutstetiger quadratischer
Variation 〈M〉 (etwa eine verallgemeinerte Diffusion), und sei H progressiv
messbar und stetig mit � T
0 H2 s d〈M〉s < ∞ für jedes T ≥ 0. Sei ferner
P =(P (n) )n∈N eine zulässige Zerlegungsfolge (siehe Definition 21.56). Zeige:
� T
0
Hs dMs = lim
25.3 Die Itô-Formel
n→∞
t∈Pn T
�
Ht(Mt ′ − Mt) stochastisch für alle T ≥ 0. ♣
Dieser und die beiden folgenden Abschnitte sind inhaltlich an ein Vorlesungsskript
von Hans Föllmer angelehnt.
Ist t ↦→ Xt eine differenzierbare Abbildung mit Ableitung X ′ und F ∈ C1 (R)
mit Ableitung F ′ , so gilt die klassische Substitutionsformel
� t
F (Xt) − F (X0) =
0
F ′ � t
(Xs) dXs =
0
F ′ (Xs)X ′ s ds. (25.9)
Diese Formel bleibt richtig, wenn X stetig und von lokal endlicher Variation ist
(siehe Kapitel 21.10), also die Verteilungsfunktion eines absolutstetigen signierten
Maßes auf [0, ∞) ist. Dann existiert die Ableitung X ′ als Radon-Nikodym Ableitung
fast überall, und man kann leicht zeigen, dass (25.9) auch in diesem Fall
gilt.
Die Pfade der Brown’schen Bewegung W sind nirgends differenzierbar (Satz 21.17
von Paley-Wiener-Zygmund) und haben (folglich) überall lokal unendliche Variation.
Wir können also eine einfache Substitutionsformel wie in (25.9) nicht erwarten,
und in der Tat sieht man leicht ein, dass sie falsch sein muss: Wählen wir