Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 63
σ((Xn)n≥N )-messbar ist. Da dies für jedes N gilt, ist X∗ auch T ((Xn)n∈N)messbar.
Für den Limes superior geht das analog. ✸
Satz 2.37 (Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz). Sei I eine abzählbar unendliche Indexmenge,
und sei (Ai)i∈I eine unabhängige Familie von σ-Algebren. Dann ist
die terminale σ-Algebra P-trivial, das heißt, es gilt
P[A] ∈{0, 1} für jedes A ∈T((Ai)i∈I).
Beweis. Es reicht, den Fall I = N zu betrachten. Sei A ∈T := T � �
(An)n∈N .Für
n ∈ N sei
�
�n
�
Fn := Ak : A1 ∈A1,...,An ∈An .
k=1
Dann ist F := �∞ n=1 Fn ein Semiring und σ(F) =σ( �
n∈N An). InderTatistfür
jedes n ∈ N und An ∈An auch An ∈F, also σ( �
n∈N An) ⊂ σ(F). Andererseits
ist Fm ⊂ σ( �m n=1 An) ⊂ σ( �
n∈N An) für jedes m ∈ N, also F⊂σ( �
n∈N An).
Sei A ∈T((An)n∈N), und sei ε>0. Nach dem Approximationssatz für Maße
(Satz 1.65) existiert ein n ∈ N und ein Fn = ˜ F1 ⊎ ...⊎ ˜ FN mit ˜ F1,..., ˜ FN ∈Fn
und mit P[A △ Fn] P[A \ Fn] =P[A ∩ (Ω \ Fn)] = P[A](1 − P[Fn]) ≥ P[A](1 − P[A] − ε).
Da ε>0 beliebig war, folgt 0=P[A](1 − P[A]). ✷
Korollar 2.38. Sei (An)n∈N eine Folge unabhängiger Ereignisse. Dann gilt
� �
� �
P
∈{0, 1} und P
∈{0, 1}.
lim sup An
n→∞
lim inf
n→∞ An
Beweis. Dies ist im Grunde eine Schlussfolgerung aus dem Lemma von Borel-
Cantelli. Allerdings folgt es auch direkt aus dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz,
da Limes superior und Limes inferior in der terminalen σ-Algebra liegen. ✷
Korollar 2.39. Sei (Xn)n∈N eine unabhängige Familie von R-wertigen Zufallsvariablen.
Dann sind X∗ := lim infn→∞ Xn und X∗ := lim supn→∞ Xn fast sicher
konstant, das heißt, es gibt x∗,x∗ ∈ R mit P[X∗ = x∗] =1und P[X∗ = x∗ ]=1.
Falls alle Xi sogar reellwertig sind, so sind auch die Cesàro-Limiten
fast sicher konstant.
lim inf
n→∞
1
n
n�
i=1
Xi und lim sup
n→∞
1
n
n�
i=1
Xi