Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

9.2 Martingale 191
Korollar 9.34. Sei X ein Submartingal und a ∈ R. Dann ist (X − a) + ein Submartingal.
Beweis. Offenbar sind 0 und Y = X − a Submartingale. Nach (iv) ist daher auch
(X − a) + = Y ∨ 0 ein Submartingal. ✷
Satz 9.35. Sei X ein Martingal und ϕ : R → R eine konvexe Funktion.
(i) Ist
E[ϕ(Xt) + ] < ∞ für jedes t ∈ I, (9.1)
dann ist (ϕ(Xt))t∈I ein Submartingal.
(ii) Ist t∗ := sup(I) ∈ I, so impliziert E[ϕ(Xt∗)+ ] < ∞ schon (9.1).
(iii) Ist speziell p ≥ 1 und E[|Xt| p ] < ∞ für jedes t ∈ I, dann ist (|Xt| p )t∈I ein
Submartingal.
Beweis. (i) Es ist stets E[ϕ(Xt) − ] < ∞ (Satz 8.19), also nach Voraussetzung
E[|ϕ(Xt)|] < ∞ für jedes t ∈ I. Die Jensen’sche Ungleichung (Satz 8.19) liefert
für t>s
E[ϕ(Xt) � �
�Fs] ≥ ϕ(E[Xt
�Fs]) = ϕ(Xs).
(ii) Da ϕ konvex ist, ist auch x ↦→ ϕ(x) + konvex. Weiter ist nach Voraussetzung
E[ϕ(Xt∗)+ ] < ∞, also gilt nach der Jensen’schen Ungleichung für jedes t ∈ I:
E[ϕ(Xt) + ]=E � ϕ � E[Xt∗ �
�Ft] � +� �
≤ E E[ϕ(Xt∗)+ � �Ft] � = E � ϕ(Xt∗)+� < ∞.
(iii) Dies ist klar, weil x ↦→ |x| p konvex ist. ✷
Beispiel 9.36. (Siehe Beispiel 9.4.) Die symmetrische einfache Irrfahrt X auf Z ist
ein quadratintegrierbares Martingal. Also ist (X2 n)n∈N0 ein Submartingal. ✸
Übung 9.2.1. Sei Y eine Zufallsvariable mit E[|Y |] < ∞ und F eine Filtration
sowie
Xt := E[Y � �Ft] für jedes t ∈ I.
Man zeige, dass X ein F-Martingal ist. ♣
Übung 9.2.2. Sei (Xn)n∈N0 ein vorhersagbares F-Martingal. Man zeige, dass dann
für jedes n ∈ N0 fast sicher Xn = X0 gilt. ♣
Übung 9.2.3. Man zeige, dass die Aussage von Satz 9.35 auch gilt, wenn X nur
ein Submartingal, ϕ jedoch zusätzlich monoton wachsend ist. Man zeige durch ein
Beispiel, dass hier auf die Monotonie im Allgemeinen nicht verzichtet werden kann.
(Vergleiche Korollar 9.34.) ♣