Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8 Bedingte Erwartungen
Wenn über den Ausgang eines Zufallsexperimentes eine Teilinformation vorhanden
ist, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ereignisse. Das Konzept
der bedingten Wahrscheinlichkeiten und bedingten Erwartungen formalisiert den
zugehörigen Kalkül.
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel 8.1. Wir werfen einen fairen sechsseitigen Würfel und betrachten die Ereignisse
A := {Augenzahl drei oder kleiner},
B := {Augenzahl ungerade}.
Offenbar ist P[A] = 1
1
2 und P[B] = 2 . Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit,
dass B eintritt, wenn wir schon wissen, dass A eintritt?
Wir modellieren das Experiment auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P),
wobei Ω = {1,...,6}, A =2Ω und P die Gleichverteilung auf Ω ist. Dann ist
A = {1, 2, 3} und B = {1, 3, 5}.
Wenn wir nur wissen, dass A eingetreten ist, liegt es nahe, auf {1, 2, 3} die Gleichverteilung
zu vermuten. Wir definieren also auf (A, 2 A ) ein neues W-Maß PA durch
PA[C] = #C
#A
für C ⊂ A.
Indem wir Punkten in Ω \ A die Wahrscheinlichkeit Null geben (die können ja nicht
eingetreten sein, wenn A eingetreten ist), können wir PA auf Ω fortsetzen durch
P[C |A] := PA[C ∩ A] =
So erhalten wir P[B |A] =
#{1, 3}
#{1, 2, 3}
#(C ∩ A)
#A
für C ⊂ Ω.
2
= . ✸
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