Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften 437
Erinnerung: Ein stochastischer Prozess (Xt)t∈I heißt Gauß’scher Prozess, falls für
jedes n ∈ N und alle t1,...,tn ∈ I gilt
(Xt1 ,...,Xtn ) ist n–dimensional normalverteilt.
Wir nennen X zentriert, falls E[Xt] =0für jedes t ∈ I. Die Funktion
heißt Kovarianzfunktion von X.
Γ (s, t) :=Cov[Xs,Xt] für s, t ∈ I,
Bemerkung 21.10. Durch die Kovarianzfunktion sind die endlichdimensionalen
Verteilungen eines zentrierten, Gauß’schen Prozesses eindeutig festgelegt, denn eine
mehrdimensionale Normalverteilung ist durch den Erwartungswertvektor und
Kovarianzmatrix vollständig beschrieben. ✸
Satz 21.11. Für einen stochastischen Prozess X =(Xt) t∈[0,∞) sind äquivalent:
(i) X ist eine Brown’sche Bewegung.
(ii) X ist ein stetiger, zentrierter, Gauß’scher Prozess mit Cov[Xs,Xt] =s ∧ t für
alle s, t ≥ 0.
Beweis. Nach Bemerkung 21.10 ist X durch (ii) eindeutig bestimmt. Es reicht also
zu zeigen, dass Cov[Xs,Xt] =min(s, t) für die Brown’sche Bewegung X gilt.
Dies ist aber richtig, denn für t>ssind Xs und Xt − Xs unabhängig, also ist
Cov[Xs,Xt] =Cov[Xs,Xt − Xs]+ Cov[Xs,Xs] =Var[Xs] =s. ✷
Korollar 21.12 (Skalierungseigenschaft der Brown’schen Bewegung). Ist B eine
Brown’sche Bewegung und K �= 0, dann ist auch (KB K 2 t)t≥0 eine Brown’sche
Bewegung.
Beispiel 21.13. Ein weiteres Beispiel für einen stetigen, Gauß’schen Prozess ist die
Brown’sche Brücke X, die die Kovarianzfunktion Γ (s, t) =s ∧ t − st hat. Wir
konstruieren die Brown’sche Brücke wie folgt: Sei B = (Bt, t ∈ [0, 1]) eine
Brown’sche Bewegung und
Xt := Bt − tB1.
Offenbar ist X ein zentrierter, Gauß’scher Prozess mit stetigen Pfaden. Die Kovarianzfunktion
Γ von X errechnet sich zu
Γ (s, t) =Cov[Xs,Xt] =Cov[Bs − sB1,Bt − tB1]
= Cov[Bs,Bt] − s Cov[B1,Bt] − t Cov[Bs,B1]+st Cov[B1,B1]
=min(s, t) − st − st + st =min(s, t) − st. ✸