Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie 505
Satz 23.19 (Gekipptes LDP). Es erfülle (με)ε>0 ein LDP mit der guten Ratenfunktion
I. Ferner sei φ : E → R stetig und erfülle die Bedingung (23.17). Wir
definieren Z φ ε := � e φ/ε dμε und μ φ ε ∈M1(E) durch
μ φ ε (dx) =(Z φ ε ) −1 e φ(x)/ε με(dx).
Ferner definieren wir Iφ : E → [0, ∞] durch
� � � �
φ(z) − I(z) − φ(x) − I(x) . (23.21)
I φ (x) =sup
z∈E
Dann erfüllt (μ φ ε )ε>0 ein LDP mit der Ratenfunktion I φ .
Beweis. Dies bleibt dem Leser zur Übung überlassen. (Vergleiche [33, Aufgabe
2.1.24], siehe auch [42, Abschnitt II.7].) ✷
Wir wollen das Varadhan’sche Lemma im Kontext der statistischen Physik betrachten.
Sei hierzu Σ ein polnischer Raum, den wir als Raum der möglichen Zustände
eines einzelnen Teilchens auffassen wollen. Ferner sei λ ∈M1(Σ) eine Verteilung,
die wir als a priori Verteilung eines Teilchens ohne Berücksichtigung der Energie
auffassen wollen. Ist Σ endlich oder eine beschränkte Menge eines Rd ,soistλty pischerweise die Gleichverteilung auf Σ. Wenn wir n ununterscheidbare Teilchen
unabhängig nach λ auf Positionen z1,...,zn ∈ Σ setzen, so können wir den Zustand
dieses Ensembles als x := 1 �n n i=1 δzi beschreiben. Mit μ0n ∈M1(M1(Σ))
bezeichnen wir die so gewonnene a priori Verteilung von x.
Wir machen nun die Annahme, dass sich die Energie Un(x) eines Zustandes schreiben
lässt als Un(x) =nU(x), woU(x) als die mittlere Energie eines Teilchens bei
Gesamtzustand x interpretiert wird.
Es sei T ≥ 0 die Temperatur des Systems und β := 1/T die so genannte inverse
Temperatur. Eine wichtige Rolle in der statistischen Physik spielt die Zustandssumme
oder Partitionsfunktion
�
e −βUn dμ 0 n.
Z β n :=
Ein Postulat der statistischen Physik besagt, dass der Zustand x nach der Boltzmann-Verteilung
verteilt ist:
μ β n(dx) =(Z β n) −1 e −βUn(x) μ 0 n(dx) (23.22)
Das Varadhan’sche Lemma (genauer: das gekippte LDP) und der Satz von Sanov
erlauben uns, die Brücke zum Variationsprinzip für die freie Energie zu schlagen.
Wir nehmen nun an, dass Σ eine endliche Menge ist und λ = UΣ die Gleichverteilung
auf Σ. Nach dem Satz von Sanov erfüllt (μ 0 n)n∈N ein LDP mit Rate n und