Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz 129
Beweis. ” (ii) =⇒ (i)“ Wir nehmen an, dass (i) nicht gilt. Dann gibt es ein ε>0
und eine Teilfolge (fnk )k∈N mit ˜ d(fn,k,f) >εfür jedes k ∈ N. Offenbar konvergiert
keine Teilfolge von (fnk )k∈N stochastisch gegen f, also auch nicht f.ü.
” (i) =⇒ (ii)“ Gelte nun (i). Nach Bemerkung 6.3 können wir ohne Einschrän-
stoch
kung annehmen, dass μ(Ω) < ∞ gilt. Sei nk ↑∞beliebig. Wegen fnk −→ f für
k →∞,können wir eine Teilfolge (fnk )l∈N wählen, sodass
l
∞�
l=1
�
μ
|f − fnk l | > 1
l
�
< ∞.
Nach Satz 6.12(ii) konvergiert (fnk l )l∈N fast überall gegen f. ✷
Korollar 6.14. Ist (Ω,A,μ) ein Maßraum, bei dem stochastische und F.ü.-Konvergenz
nicht zusammenfallen, so gibt es keine Topologie auf der Menge der messbaren
Abbildungen Ω → E, die die F.ü.-Konvergenz erzeugt.
Beweis. Wir nehmen an, dass es eine Topologie gibt, die die F.ü.-Konvergenz er-
stoch
zeugt. Seien f,f1,f2,...messbare Abbildungen mit der Eigenschaft, dass fn −→
n→∞
f, jedoch nicht fn −→ f fast überall. Sei nun U eine offene Menge, die f enthält,
für die jedoch fn �∈ U für unendlich viele n ∈ N gilt. Sei also (fnk )k∈N eine Teil-
k→∞
folge mit fnk �∈ U für jedes k ∈ N. Wegenfnk−→
f stochastisch, gibt es nach
Korollar 6.13 wiederum eine Teilfolge (fnk )l∈N von (fnk l )k∈N
l→∞
mit fnk −→ f
l
fast überall. Es ist dann aber fnk ∈ U für alle bis auf endlich viele l, was einen
l
Widerspruch darstellt. ✷
Korollar 6.15. Sei (E,d) ein separabler, vollständiger metrischer Raum. Es sei
(fn)n∈N eine stochastische Cauchy-Folge in E, das heißt, für jedes A ∈ A mit
μ(A) < ∞ und jedes ε>0 gilt
μ � A ∩{d(fn,fm) >ε} � −→ 0 für m, n →∞.
Dann konvergiert (fn)n∈N stochastisch.
Beweis. Ohne Einschränkung kann μ(Ω) < ∞ angenommen werden. Wähle eine
Teilfolge (fnk )k∈N, sodass
μ �� d(fn,fnk ) > 2−k�� < 2 −k
für jedes n ≥ nk.
k→∞
Nach Satz 6.12(iii) gibt es ein f mit fnk −→ f fast überall, also insbesondere
k→∞
μ({d(fnk ,f) >ε/2}) −→ 0 für jedes ε>0. Nun ist aber
μ({d(fn,f) >ε}) ≤ μ({d(fnk ,fn) >ε/2})+μ({d(fnk ,f) >ε/2}).
Ist k so groß, dass 2−k ε}) n→∞
−→ 0, das heißt, es gilt fn
stoch
−→ f. ✷