Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies ist klar.
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 135
” (ii) =⇒ (iii)“ Für jedes ε>0 gibt es ein nε ∈ N, sodass �fn − fnε�1 ε}) ≤ ε −1 �fm − fn�1 −→ 0 für m, n →∞.
Deshalb ist (fn)n∈N auch eine stochastische Cauchy-Folge, also stochastisch konvergent
nach Korollar 6.15.
” (iii) =⇒ (i)“ Sei f der stochastische Grenzwert der Folge (fn)n∈N. Wir nehmen
an, dass (fn)n∈N nicht in L1 gegen f konvergiert. Dann gibt es ein ε>0 und eine
Teilfolge (fnk )k∈N mit
�f − fnk�1 > 2ε für jedes k ∈ N, (6.6)
wobei wir �f − fnk�1 = ∞ setzen, falls f �∈ L1 (μ) ist. Nach Korollar 6.13 gibt
es eine Teilfolge (fn ′ k )k∈N von (fnk )k∈N mit fn ′ k→∞
−→ f fast überall. Nach dem
k
Lemma von Fatou (Satz 4.21) mit 0 als Minorante gilt daher
�
�
|f| dμ ≤ lim inf
k→∞
|fn ′ | dμ < ∞.
k
Also ist f ∈L 1 (μ). Nach Satz 6.18(ii) (mit G = {f})ist(f −fn ′ k )n∈N gleichgradig
integrierbar, also gibt es ein 0 ≤ g ∈L 1 (μ), sodass � (|f − fn ′ k |−g)+ dμ < ε.
Setze
k→∞
gk = |fn ′ k
− f|∧g für jedes k ∈ N.
Dann gilt gk −→ 0 fast überall und g − gk ≥ 0. Nach dem Lemma von Fatou ist
� �
�
lim sup
k→∞
gk dμ =
�
gdμ− lim inf
k→∞
� �
(g − gk) dμ
�
≤ gdμ− lim (g − gk)
k→∞
dμ = 0.
Wegen {|f − fn ′ k | >gk} = {|f − fn ′ k
lim sup �f − fn
k→∞
′ k �1 ≤ lim sup
k→∞
{|f−fn ′ |>g}
k
| >g} ist also
�
|f − fn ′ �
| dμ + lim sup
k
k→∞
gk dμ ≤ ε,
im Widerspruch zu (6.6). ✷
Korollar 6.26 (Lebesgue’scher Konvergenzsatz, majorisierte Konvergenz). Sei
f messbar und (fn)n∈N eine Folge in L1 (μ) mit fn
n→∞
−→ f stochastisch. Es existiere
eine integrierbare Majorante 0 ≤ g ∈L1 (μ) mit |fn| ≤g fast überall für
jedes n ∈ N. Dann gilt f ∈L1 (μ) und fn
n→∞
−→ f in L1 �
fn dμ
, also insbesondere
n→∞
−→ � fdμ.