Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Beweis. Es gilt
P[Bk |A] = P[Bk ∩ A]
P[A]
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 167
= P[A|Bk] P[Bk]
.
P[A]
Setze jetzt (8.2) für P[A] ein. ✷
Beispiel 8.8. Bei der Produktion gewisser elektronischer Bauteile sind 2% der Ware
defekt. Ein schnelles Testverfahren erkennt ein defektes Bauteil mit Wahrscheinlichkeit
95%, meldet aber bei 10% der intakten Bauteile falschen Alarm.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein als defekt erkanntes Bauteil wirklich defekt?
Wir formalisieren die obige Beschreibung. Seien
A := {Bauteil wird als defekt deklariert},
B := {Bauteil ist defekt},
sowie
P[B] =0.02, P[Bc ]=0.98,
P[A|B] =0.95, P[A|B c ]=0.1.
Die Bayes’sche Formel liefert nun
P[B |A] =
P[A|B] P[B]
P[A|B] P[B]+P[A|B c ] P[B c ]
0.95 · 0.02 19
=
= ≈ 0.162.
0.95 · 0.02 + 0.1 · 0.98 117
Andererseits ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein nicht als defekt erkanntes Bauteil
dennoch defekt ist
P[B |A c ] =
0.05 · 0.02
0.05 · 0.02 + 0.9 · 0.98
= 1
883
≈ 0.00113. ✸
Sei nun X ∈L 1 (P).IstA ∈A, so ist offenbar auch AX ∈L 1 (P), und wir setzen
E[X; A] :=E[ A X]. (8.4)
Ist P[A] > 0, soistP[ · |A] ein W-Maß. Wegen AX ∈L 1 (P) ist auch X ∈
L 1 (P[ · |A]). Alsokönnen wir den Erwartungswert von X bezüglich P[ · |A] definieren.
Definition 8.9. Sei X ∈L1 (P) und A ∈A. Dann setzen wir
E[X |A] :=
�
X(ω) P[dω|A] =
⎧
⎨ E[ AX]
,
P[A]
⎩
0,
falls P[A] > 0,
sonst.
(8.5)