Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.6 Ergänzung: Dualräume 163
Bemerkung 7.51. Die Aussage von Satz 7.50 ist für p = ∞ im Allgemeinen falsch.
(Für endliches A ist die Aussage trivialerweise auch für p = ∞ richtig.) Sei beispielsweise
Ω = N, A =2Ω und μ das Zählmaß. Wir betrachten also Folgenräume
ℓp = Lp (N, 2N ,μ). Für den Unterraum ℓK ⊂ ℓ∞ der konvergenten Folgen ist
F : ℓK → R, (an)n∈N ↦→ lim
n→∞ an ein stetiges lineares Funktional. Nach den
Hahn-Banach Sätzen der Funktionalanalysis (siehe etwa [73] oder [156]) kann F
zu einem stetigen linearen Funktional auf ℓ∞ fortgesetzt werden. Offenbar gibt es
jedoch kein (bn)n∈N ∈ ℓ1 mit F ((an)n∈N) = ∞�
ambm. ✸
m=1
Übung 7.6.1. Man zeige, dass Ee ⊂ L p (μ) dicht liegt, falls p ∈ [1, ∞). ♣