Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Projektive Familien 273
Satz 14.32 (Ionescu-Tulcea). Es gibt ein eindeutig bestimmtes W-Maß auf (Ω,A),
sodass (14.11) gilt.
Beweis. Die Eindeutigkeit ist klar, weil die endlichdimensionalen Rechteckzylinder
einen schnittstabilen Erzeuger von A bilden. Es bleibt die Existenz zu zeigen.
Wir definieren eine Mengenfunktion P auf den Zylindermengen Z durch (14.11).
Offenbar ist P additiv, also ein Inhalt. Ist P nun aber ∅-stetig, so ist P nach Satz 1.36
ein Prämaß und lässt sich nach dem Satz von Carathéodory (Satz 1.41) eindeutig zu
einem Maß auf A fortsetzen.
Sei also A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ ...eine Folge in Z mit α := infn∈N0 P (An) > 0. Es
reicht zu zeigen, dass �∞ n=0 An �= ∅. Ohne Einschränkung können wir annehmen,
dass An = A ′ n × × ∞
k=n+1 Ωk für gewisses A ′ n ∈An .Für n ≥ m setze
hm,n(ω0,...,ωm) :=
� n�
k=m+1
κk
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n
und hm := infn≥m hm,n. Wir zeigen induktiv, dass es ϱi ∈ Ωi, i ∈ N0, gibt mit
Wegen A ′ n+1 ⊂ A ′ n × Ωn+1 gilt
hm,n+1(ω0,...,ωm) =
≤
=
� n+1
�
hm(ϱ0,...,ϱm) ≥ α. (14.12)
k=m+1
� n+1
�
k=m+1
� n�
k=m+1
κk
κk
κk
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n+1
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n × Ωn+1
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n = hm,n(ω0,...,ωm).
Also gilt hm,n ↓ hm für n →∞und nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
�
�
hm dPm = inf
n≥m
hm,n dPm =inf
n∈N Pn(A ′ n)=α.
Daher gilt (14.12) für m =0. Gelte nun (14.12) für ein m ∈ N0. Dannist
�
� �
hm+1(ϱ0,...,ϱm,ωm+1) κm+1 (ϱ0,...,ϱm),dωm+1
�
� �
= inf hm+1,n(ϱ0,...,ϱm,ωm+1) κm+1 (ϱ0,...,ϱm),dωm+1
n≥m+1
= hm(ϱ0,...,ϱm) ≥ α.
Es folgt (14.12) für m +1.
Sei ϱ := (ϱ0,ϱ1,...) ∈ Ω. Nach Konstruktion ist α ≤ hm,m(ϱ0,...,ϱm) =
A ′ m (ϱ0,...,ϱm), also ϱ ∈ Am für jedes m ∈ N und damit � ∞
i=0 Ai �= ∅. ✷