Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

364 17 Markovketten
Übung 17.6.2. Sei X =(Xt)t≥0 eine Markovkette auf E in stetiger Zeit mit Q-
Matrix q. Man zeige: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß π auf E ist genau dann eine invariante
Verteilung für X,wenn �
x∈E π({x})q(x, y) =0für alle y ∈ E. ♣
Übung 17.6.3. Sei G eine abzählbare, abelsche Gruppe und p die Übergangsmatrix
einer irreduziblen Irrfahrt X auf G, das heißt, es gilt p(hg, hf) =p(h, f) für alle
h, g, f ∈ G. (Dies verallgemeinert den Begriff der Irrfahrt auf Z D .) Man zeige mit
Hilfe von Satz 17.51: X ist genau dann positiv rekurrent, wenn G endlich ist. ♣
Übung 17.6.4. Sei r ∈ [0, 1] und X die Markovkette auf N0 mit Übergangsmatrix
(siehe Abb. 17.2 auf Seite 351)
⎧
1, falls x =0 und y =1,
⎪⎨ r, falls y = x +1≥ 2,
p(x, y) =
1 − r, falls y = x − 1,
⎪⎩
0, sonst.
Man bestimme das invariante Maß und zeige mit Hilfe von Satz 17.51:
(i) Ist r ∈ � 0, 1
�
2 ,soistXpositiv rekurrent.
(ii) Ist r = 1
2 ,soistXnullrekurrent. (iii) Ist r ∈{0}∪ � 1
2 , 1� ,soistXtransient. ♣