Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Die wichtigsten Kenngrößen für Zufallsvariablen sind Median, Erwartungswert und
Varianz. Der Erwartungswert beschreibt für großes n den typischen ungefähren
Wert des arithmetischen Mittels (X1 + ... + Xn)/n von u.i.v. Zufallsvariablen
(Gesetz der Großen Zahl). In Kapitel 15 werden wir sehen, wie die Varianz hingegen
die typischen Abweichungen des arithmetischen Mittels vom Erwartungswert
determiniert.
5.1 Momente
Im Folgenden sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 5.1. Sei X eine Zufallsvariable.
(i) Ist X ∈L1 (P),soheißtXintegrierbar, und wir nennen
�
E[X] := XdP
den Erwartungswert von X. IstE[X] =0,soheißtXzentriert. Etwas allgemeiner
schreiben wir auch E[X] = � XdP, falls nur X− oder X + integrierbar
ist.
(ii) Ist n ∈ N und X ∈Ln (P), so heißen die Größen
mk := E � X k� , Mk := E � |X| k�
für jedes k =1,...,n,
die k-ten Momente beziehungsweise absoluten Momente von X.
(iii) Ist X ∈L2 (P),soheißtXquadratintegrierbar, und wir nennen
Var[X] :=E � X 2� − E[X] 2
die Varianz von X. Die Zahl σ := √ Var[X] heißt die Streuung oder Standardabweichung
von X. Formal setzen wir manchmal Var[X] = ∞, falls
E[X 2 ]=∞ ist.